質問＜２８５０＞２００６／１／１４
from=助けて！！！
「kの範囲」

1.任意の正数x,yに対して(x+y)^2≦k(x^2+y^2)
　が成り立つようなkの値の範囲を求めよ。
2.任意の正数x,yに対して(x+y)^4≦k(x^4+y^4)
　が成り立つようなkの値の範囲を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／２０
from=UnderBird

1.任意の正数x,yに対して(x+y)^2≦k(x^2+y^2)
　が成り立つようなkの値の範囲を求めよ。

x=r*cos(θ) , y=r*sin(θ) r＞0, 0＜θ＜π/2 とおく。
(x+y)^2≦k(x^2+y^2)
に代入し整理すると、1+sin(2θ)≦k
ここで、1＜1+sin(2θ)≦2であることから、kの範囲は
k≧2

2.任意の正数x,yに対して(x+y)^4≦k(x^4+y^4)
　が成り立つようなkの値の範囲を求めよ。

同じ方法でできるがあまりエレガントでない。
しかし、他の方法を思いつかないのであしからず。
同様な方法で、
{1+sin(2θ)}^2≦k[1-0.5*{sin(2θ)}^2]
ここで、sin(2θ)=tとおくと、0＜t≦1となる。
f(θ)=2(1+t)^2/(2-t^2)とおき、増減表を用いて
0＜t≦1では単調増加,f(0)=1,f(1)=8を確認できる。
よって、k≧8

お便り２００６／１／２０
from=C.A.

 (1) k \geq 2.
 (2) k \geq 8.

（注）\geq　はｔｅｘ（テフ）で「≧」を表示します。（管理人）

お便り２００６／１／２６
from=corn