質問

ｎを自然数として、ｎ＋３が５の倍数、ｎ＋５が３の倍数のとき、
これを満たす最小のｎの値を求めよ。
また、小さい順に並べたとき、１０番目の値を求めよ。

★希望★完全解答★

お返事２００６／１／２５
from=武田

ｎ＋３＝５ｋ（ｋは自然数）より、ｎ＝５ｋ－３
ｎ＋５＝３ｍ（ｍは自然数）に代入して、
（５ｋ－３）＋５＝３ｍ
５ｋ－３ｍ＝－２

不定方程式だから、これを解いて、
３ｋ＋２ｋ－３ｍ＝－２
３（ｋ－ｍ）＋２ｋ＝－２
２（ｋ－ｍ）＋（ｋ－ｍ）＋２ｋ＝－２
２（２ｋ－ｍ）＋（ｋ－ｍ）＝－２
ｋ－ｍ＝ｓとおくと、
４ｋ－２ｍ＝－２－ｓ
連立して、
｛ｋ－ｍ＝ｓ　　　　　………①
｛４ｋ－２ｍ＝－２－ｓ………②
②－①×２
２ｋ＝－２－３ｓ
ｋ＝（－２－３ｓ）／２………③
③を①に代入して、
ｍ＝ｋ－ｓ＝（－２－３ｓ）／２－ｓ
　＝（－２－５ｓ）／２………④
③と④が整数になるのは
ｓ＝－２のとき、ｋ＝２，ｍ＝４
したがって、
不定方程式の答えは、
（ｋ，ｍ）＝（２＋３ｔ，４＋５ｔ）ただし、ｔは整数

ｔに整数を入れて、ｋとｍが自然数になるものを書き出すと、
（ｋ，ｍ）＝（２，４），（５，９），（８，１４），（１１，１９），
　　　　　　，（１４，２４），（１７，２９），（２０，３４）………

このとき、自然数ｎを小さいものから順に並べると、ｎ＝５ｋ－３より、
７，２２，３７，５２，６７，８２，９７，………

初項７、公差１５の等差数列だから、
ａ(n)＝７＋（ｎ－１）×１５
　　 ＝１５ｎ－８
第１０項ａ(10)＝１５×１０－８＝１４２……（答）
一番小さなｎは、初項の７……（答）