質問＜２９２６＞２００６／２／８
from=ゆう
「二重積分」

①∬y≧0 1/(1+x^2+y)^2 dxdy
②∬R^2 dxdy/(1+x^2+y^2+1)^3/2

よろしくおねがいします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／６／１８
from=３の６

①　ｙ方向に積分した後にｘ方向に積分すると
　　　∬y≧0 1/(1+x^2+y)^2 dxdy
     =∫[-∞～∞]{∫[0～∞]１/（1+x^2+y)^2 dy}dx
     =∫[-∞～∞]{１/（1+x^2)} dx

X＝tanθと置いて変数変換すると
（与式）=∫[-π/2～π/2]dθ
             =π

②∬R^2 dxdy/(1+x^2+y^2+1)^3/2
これは書き間違えなのでは？
　∬R^2 dxdy/(1+x^2+y^2)^3/2
でよければ
　x=rcosθ、y=rsinθと変数変換しθで積分した後rで積分すると
(与式)=∫[0～∞]｛∫[0～2π]1/(1+r^2)^3/2dθ｝dr
　　　=2π∫[0～∞]｛1/(1+r^2)^3/2dθ｝dr
r=tanθと変数変換すると
(与式)=2π∫[0～π/2]sinθ dθ 
      =2π