質問＜２９３５＞２００６／２／９
from=Saku
「数列の極限」

a_n=cos2nπ/3+Σ{k=1,n}1/2^(k-1)のとき、
lim{n→∞}1/nΣ{k=1,n}a_kの値を求めよ。
という問題なんですが、どうしても解き方が分かりません。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／２２
from=ZELDA

a(n)=cos2nπ/3＋∑[k=1,n]1/2^(k-1)
　　=cos2nπ/3+(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
(等比数列の和の公式より)

=cos2nπ/3+2-(1/2)^(n-1)
であるから

lim[n→∞]1/n∑[k=1,n]a(k)
=lim[n→∞]1/n∑[k=1,n](cos2kπ/3+2-(1/2)^(k-1))
=lim[n→∞]1/n(∑[k=1,n](cos2kπ/3))
+1/n(2n-(2-(1/2)^(n-1)))
=lim[n→∞]1/n(∑[k=1,n](cos2kπ/3))
+2-(2/n)+1/n(1/2)^(n-1).....(A)
である。

ここで、∑[k=1,n]cos2kπ/3.....(B)
=(cos2π/3+cos4π/3+cos2π)+(cos8π/3+cos10π/3+cos4π)
+.......+cos2nπ/3
=(-1/2-1/2+1)+(-1/2-1/2+1)+.....+cos2nπ/3
であるから(m=1,2,3,4,5......)とする。

n=3m-2のとき
(B)=-1/2
n=3m-1のとき
(B)=-1
n=3mのとき
(B)=0

である事を考えると

lim[n→∞]1/n(∑[k=1,n](cos2kπ/3))=0
が成立する。このことと(A)式より、
lim[n→∞]1/n∑[k=1,n]a(k)=2
となる。