質問＜２９４２＞２００６／２／１２
from=あんたん
「不定積分」

∫x/(1-cosx)dxの不定積分がわかりません。教えて下さい

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１４
from=angel

1-cosx が中途半端なので、倍角の公式をつかって変形します。
ちなみに、∫1/(sinθ)^2 dθ= -1/tanθ+C

∫x/(1-cosx)dx
= ∫x/2(sin(x/2))^2 dx
= -x/tan(x/2) + ∫1/tan(x/2)dx　　← 部分積分
= -x/tan(x/2) + ∫cos(x/2)/sin(x/2) dx
= -x/tan(x/2) + 2log|sin(x/2)| + C …(答え1)
= -xcos(x/2)/sin(x/2) + log( sin(x/2)^2 ) +C
= -2xsin(x/2)cos(x/2)/2( sin(x/2)^2 ) + log( 2sin(x/2)^2 ) -log2 + C
= -xsinx/(1-cosx) + log(1-cosx) + C　…(答え2)

答え1の時点で終了ではあるのですが、x/2が出るのを嫌った場合、
答え2のようになります。