質問＜２９４８＞２００６／２／１３
from=こうすけ
「積分について」

Ｃ＝｛ｚ：｜ｚ｜＝２｝とするとき、次の値を求めよ。
（ａ）∫２ｚ＋１／（ｚ－３）ｚ　ｄｚ
（ｂ）∫ｅ＾ａｚ／ｚ＾２＋１　ｄｚ（ａは定数）　
わかりません。お助けを

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１５
from=UnderBird

コーシーの積分公式を当てはめればいいはずです。
テキストや演習書を是非開いて探してみてください。
Ｃ＝｛ｚ：｜ｚ｜＝２｝とするとき

（ａ）∫２ｚ＋１／（ｚ－３）ｚ ｄｚにおいて、
ｚ＝０が一位の特異点より
ｆ（ｚ）＝(２ｚ＋１)／(ｚ－３)とみて、公式より
∫(２ｚ＋１)／(ｚ－３)ｚｄｚ
 ＝２πｉｆ(０)＝－２πｉ／３

（ｂ)
ｚ＝ｉの周りの積分路をc1，
ｚ＝－ｉの周りの積分路をc2　とすると
　【e^azはe^(az)の意味で使ってます】
∫_c (ｅ＾ａｚ)／(ｚ＾２＋１)ｄｚ　
＝∫_c1 (ｅ＾ａｚ)／(ｚ＾２＋１)ｄｚ＋∫_c2 (ｅ＾ａｚ)／(ｚ＾２＋１)ｄｚ
＝∫_c1 {(ｅ＾ａｚ)／(ｚ＋ｉ)}／(ｚ－ｉ)ｄｚ
　　　　＋∫_c2 {(ｅ＾ａｚ)／(ｚ－ｉ)}／(ｚ＋ｉ)ｄｚ
＝２πｉ{(ｅ＾ａｉ)／(ｉ＋ｉ)}＋２πｉ{(－ｅ＾ａｉ)／(－ｉ－ｉ)}
＝２πｉ*ｓｉｎ(ａ)