質問＜２９５９＞２００６／２／１４
from=ふじこ
「図形」

△ＡＢＣの辺ＢＣの中点をＭとし、∠ＡＭＢの二等分線がＡＢと交わる点をＤ、
∠ＡＭＣの二等分線がＡＣと交わる点をＥとする。
このとき、ＤＥ〃ＢＣであることを証明せよという問題です。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１６
from=angel

角の二等分線に注目
「(内)角の二等分線定理」より
　MA : MB = DA : DB
　MA : MC = EA : EC

今、M が BCの中点のため、MB=MC
よって、DA : DB = EA : EC

これにより DEとBCが平行であることが証明された。(※)

※細かく言うなら、
　DA : DB = EA : EC ⇒ AD : AB = AE : AC
　AD : AB = AE : AC、∠A 共通により、△ADE∽△ABC
　よって、∠ADE = ∠ABC
　同位角が等しいため、DE と BC は平行

お便り２００６／２／１６
from=／で

角の２等分線の性質（※）から、
ＭＡ：ＭＢ＝ＡＤ：ＤＢ
ＭＡ：ＭＣ＝ＡＥ：ＥＣ
ここで、ＭＢ＝ＭＣより
∴ＡＤ：ＤＢ＝ＡＥ：ＥＣ
∴ＤＥ〃ＡＢ
　　　　　　　　　　　（証明終り）

（※）角の２等分線の性質
△ＡＢＣにおいて、∠Ａの２等分線と辺ＢＣの
交点をＤとすると、
　　ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ
である。

（証明）
ＢＡの延長上にＡＥ＝ＡＣとなる点Ｅをとると、
　　ＡＤ〃ＡＣ
となる。
（∵∠Ｅ＝∠ＡＣＥ、∠Ｅ＋∠ＡＣＥ＝∠ＢＡＣ＝２∠ＤＡＣ
　∴∠ＤＡＣ＝∠Ｅ　∴錯角が等しいのでＡＤ〃ＡＣ）
すると、
ＡＢ：ＡＣ＝ＡＢ：ＡＥ＝ＢＤ：ＤＣ
　　　　　　　　　　　　　　（証明終り）