質問<2959>2006/2/14
△ABCの辺BCの中点をMとし、∠AMBの二等分線がABと交わる点をD、 ∠AMCの二等分線がACと交わる点をEとする。 このとき、DE〃BCであることを証明せよという問題です。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/2/16
from=angel
角の二等分線に注目 「(内)角の二等分線定理」より MA : MB = DA : DB MA : MC = EA : EC 今、M が BCの中点のため、MB=MC よって、DA : DB = EA : EC これにより DEとBCが平行であることが証明された。(※) ※細かく言うなら、 DA : DB = EA : EC ⇒ AD : AB = AE : AC AD : AB = AE : AC、∠A 共通により、△ADE∽△ABC よって、∠ADE = ∠ABC 同位角が等しいため、DE と BC は平行
お便り2006/2/16
from=/で
角の2等分線の性質(※)から、 MA:MB=AD:DB MA:MC=AE:EC ここで、MB=MCより ∴AD:DB=AE:EC ∴DE〃AB (証明終り) (※)角の2等分線の性質 △ABCにおいて、∠Aの2等分線と辺BCの 交点をDとすると、 AB:AC=BD:DC である。 (証明) BAの延長上にAE=ACとなる点Eをとると、 AD〃AC となる。 (∵∠E=∠ACE、∠E+∠ACE=∠BAC=2∠DAC ∴∠DAC=∠E ∴錯角が等しいのでAD〃AC) すると、 AB:AC=AB:AE=BD:DC (証明終り)