質問

問）４数からなる集合Ｂが乗法と除法に関して閉じて
　　いればＢ＝Ａであることを証明せよ。
　　※（1，ｂ，ｂ2，ｂ3，ｂ4，ｂ5）の5数を用いて
　　　考えよ。
　　※ｂ2，ｂ3・・はｂの2乗，3乗のことです。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１９
from=wakky

質問＜２６１４＞にあります。

お便り２００６／４／３
from=飛鳥　涼

以前、質問をさせていただいた続きですが・・・

４数から成る集合が閉じていれば、{1，－1，i，－i}
になることを1，ｂ，ｂ2，ｂ3，ｂ4（数字は累乗のこと）を用いて証明せよ。

が、どのように展開して導けばよいのか、理解できません。
教えてください。よろしくお願い致します。

お便り２００６／４／１７
from=BossF

何度も質問がきているようなので、ミスがないように丁寧にやります(=^・^=)

[解]
４数からなる集合Ｂが乗法と除法に関して閉じてる…①
まずBは①により0を元に持たないことに注意する

∀a∈Bに対しa/a=1だから、①より1∈B

さて１以外のBの元の一つをｂとおくと

①より{1,b,b^2,b^3,b^4}⊆Bだから、

1,b,b^2,b^3,b^4の少なくとも一つは一致する
ここで、b≠1よりb≠b^2,b^2≠b^3,b^3≠b^4に注意すると
1=b^2,1=b^3,1=b^4,b=b^3,b=b^4,b^2=b^4
i.e.
1=b^2,1=b^3,1=b^4

(i)b^2=1のとき
　b≠1だからb=-1
　∴ｃ∈B ∧ｃ≠±1…②　なるｃが存在
　すると(-1)・c=－c∈Bで,ｃ≠±1より-ｃ≠±1だから
　±1,±c　は異なる４数
　よって①よりc^2=±1,±c これと②よりc=±i
  i.e. B={±1,±i}が必要

(ii)b^3=1
   b≠1だからb=ω　（x^3=1の虚根の一つをωとすると他方はω^2で、
　それらは互いに共役であることは既知とします）
　　明らかにω^2∈B なので
　c∈B ∧ｃ≠1,ω,ω^2…②なるcが存在せねばならない
  するとcω＝1,ω,ω^2,c(≠0)
  すなわち c=ω^2,1,ω またはω=1
  これは矛盾　よってb^3=1の時①は成立しない

(iii)b^4=1のとき
　　b=-1,±i
    b=-1なら(i)で示したごとく残りは±i
　　b=iなら b^2=-1 と残りは -i
    b=-iなら b^2=-1 と残りは i
   いずれにせよB={±1,±i}が必要

十分性は明らかなので
以上より
　　　①⇔B={±1,±i}

お便り２００６／６／２１
from=飛鳥　涼

たびたびお世話になります。

質問＜２９６７＞で、せっかく解答をいただいたのですが、その解答では正答として
満たせないようなのです。

正答への方向性としては、
ｂ≠1より、ｂ≠ｂ（2）〔（）は累乗を表す〕
ｂ（2）≠ｂ（3），ｂ（3）≠ｂ（4）に注意すると、
1＝ｂ（2），1＝ｂ（3），1＝ｂ（4），ｂ＝ｂ（3），
ｂ＝ｂ（4），ｂ（2）＝ｂ（4）より、従って、ｂは
1，－1，ω（2つ），i，-iで、Ｂの数の候補がわかる・・・の流れなのですが、
この後、どう展開してよいのかわかりません。

解答、よろしくお願いいたします。

お便り２００６／７／２
from=BossF

>質問＜２９６７＞で、せっかく解答をいただいたのですが、その解答では正答として
>満たせないようなのです。

どうも済みませんでした

具体的にどのような注意をされたのでしょうか？教えていただければ幸いです


>正答への方向性としては、
>ｂ≠1より、ｂ≠ｂ（2）〔（）は累乗を表す〕
>ｂ（2）≠ｂ（3），ｂ（3）≠ｂ（4）に注意すると、
>1＝ｂ（2），1＝ｂ（3），1＝ｂ（4），ｂ＝ｂ（3），
>ｂ＝ｂ（4），ｂ（2）＝ｂ（4）より、従って、ｂは
>1，－1，ω（2つ），i，-iで、Ｂの数の候補がわかる・・・の流れなのですが、

ここまでは、私の解と同じですよね


>この後、どう展開してよいのかわかりません。

このあとωがＢの数とならないことを示せばいいのでは？

私はそれを示したつもりなんですが、そこで何か注意を受けたのかしら？

お返事お待ちします