質問＜２９７＞２０００／８／１１
from=北島王子
「行列」

行列の表し方が分からなかったのでメールで質問させてください。
二次の正方行列 X,  Y,  A,  B　について以下の問いに答えよ。
なお一般に 
　　（ｘ　ｙ）
Ｘ＝（　　　）
　　（ｚ　ｗ）
に対して、xw-yzをdetX , x＋wをtrX　と表し零行列をOで表す。
(1)det(XY) = detX・detYが成り立つことを示せ。

お返事２０００／８／１２
from=武田

行列
　　（ｘ　ｙ）
Ｘ＝（　　　）
　　（ｚ　ｗ）
のとき、行列式(determinant)は、ｄｅｔＸとか、｜Ｘ｜とか表現し、
　　　　　｜ｘ　ｙ｜
ｄｅｔＸ＝｜　　　｜＝ｘｗ－ｙｚ
　　　　　｜ｚ　ｗ｜
と計算する。ｔｒＸ＝ｘ＋ｗはよくわからない。（問題の作者が勝手に
定義したものかもしれない？）似たやつに転置行列(transpose)というの
がある。小文字でｔと左前に書くやつで、
　　　（ｘ　ｚ）
t Ｘ＝（　　　）
　　　（ｙ　ｗ）
は、行と列を入れ替えたやつである。

さて、質問のdet(XY) = detX・detYの証明だが、
　　（ｘ　ｙ）　　　（ａ　ｂ）
Ｘ＝（　　　）、Ｙ＝（　　　）とおいて、
　　（ｚ　ｗ）　　　（ｃ　ｄ）

　　　（ｘ　ｙ）　（ａ　ｂ）　（ax+cy　bx+dy）
ＸＹ＝（　　　）×（　　　）＝（　　　　　　）
　　　（ｚ　ｗ）　（ｃ　ｄ）　（az+cw　bz+dw）

左辺＝ｄｅｔ（ＸＹ）
　　＝（ax+cy）（bz+dw）－（bx+dy）（az+cw）
　　＝abxz＋adxw＋bcyz＋cdyw－abxz－bcxw－adyz－cdyw
　　　^^^^              ^^^^  ^^^^              ^^^^
　　＝adxw＋bcyz－bcxw－adyz
　　＝ad(xw－yz)＋bc(yz-xw)
　　＝(xw－yz)(ad－bc)
　　＝ｄｅｔＸ・ｄｅｔＹ
　　＝右辺
証明が出来た。