質問<297>2000/8/11
行列の表し方が分からなかったのでメールで質問させてください。 二次の正方行列 X, Y, A, B について以下の問いに答えよ。 なお一般に (x y) X=( ) (z w) に対して、xw-yzをdetX , x+wをtrX と表し零行列をOで表す。 (1)det(XY) = detX・detYが成り立つことを示せ。
お返事2000/8/12
from=武田
行列 (x y) X=( ) (z w) のとき、行列式(determinant)は、detXとか、|X|とか表現し、 |x y| detX=| |=xw-yz |z w| と計算する。trX=x+wはよくわからない。(問題の作者が勝手に 定義したものかもしれない?)似たやつに転置行列(transpose)というの がある。小文字でtと左前に書くやつで、 (x z) t X=( ) (y w) は、行と列を入れ替えたやつである。 さて、質問のdet(XY) = detX・detYの証明だが、 (x y) (a b) X=( )、Y=( )とおいて、 (z w) (c d) (x y) (a b) (ax+cy bx+dy) XY=( )×( )=( ) (z w) (c d) (az+cw bz+dw) 左辺=det(XY) =(ax+cy)(bz+dw)-(bx+dy)(az+cw) =abxz+adxw+bcyz+cdyw-abxz-bcxw-adyz-cdyw ^^^^ ^^^^ ^^^^ ^^^^ =adxw+bcyz-bcxw-adyz =ad(xw-yz)+bc(yz-xw) =(xw-yz)(ad-bc) =detX・detY =右辺 証明が出来た。