質問＜２９８＞２０００／８／１２
from=北島王子
「行列２」

御解答ありがとうございます
先の問題に関連するのですが・・・

k を実数とします。
det(kA) = k^2 detA
det(AB) = det(BA)
tr(kA) = k trA
という公式を証明するにはどうしたらいいでしょう・・

よろしくお願いします

お返事２０００／８／１２
from=武田

問１
ｋを実数とするとき、
det(kA) = k2  detA　を証明してみよう。
　　（ａ　ｂ）
Ａ＝（　　　）とおくと、
　　（ｃ　ｄ）

　　　（ｋａ　ｋｂ）
ｋＡ＝（　　　　　）より、
　　　（ｋｃ　ｋｄ）

左辺＝ｄｅｔ（ｋＡ）
　　＝（ｋａ）・（ｋｄ）－（ｋｂ）・（ｋｃ）
　　＝ｋ2 ａｄ－ｋ2 ｂｃ
　　＝ｋ2 （ａｄ－ｂｃ）
　　＝ｋ2 ｄｅｔＡ
　　＝右辺
したがって、証明が出来た。……（答）

問２
ｋを実数とするとき、
det(AB) = det(BA)　を証明してみよう。
　　（ａ　ｂ）　　　（ｘ　ｙ）
Ａ＝（　　　）、Ｂ＝（　　　）とおくと、
　　（ｃ　ｄ）　　　（ｚ　ｗ）

　　　（ａ　ｂ）　（ｘ　ｙ）　（ａｘ＋ｂｚ　ａｙ＋ｂｗ）
ＡＢ＝（　　　）・（　　　）＝（　　　　　　　　　　　）
　　　（ｃ　ｄ）　（ｚ　ｗ）　（ｃｘ＋ｄｚ　ｃｙ＋ｄｗ）

　　　（ｘ　ｙ）　（ａ　ｂ）　（ａｘ＋ｃｙ　ｂｘ＋ｄｙ）
ＢＡ＝（　　　）・（　　　）＝（　　　　　　　　　　　）
　　　（ｚ　ｗ）　（ｃ　ｄ）　（ａｚ＋ｃｗ　ｂｚ＋ｄｗ）

左辺＝ｄｅｔ（ＡＢ）
　　＝（ａｘ＋ｂｚ）（ｃｙ＋ｄｗ）－（ａｙ＋ｂｗ）（ｃｘ＋ｄｚ）
　　＝acxy＋adxw＋bcyz＋bdzw－acxy－adyz－bcxw－bdzw
　　　^^^^              ^^^^  ^^^^              ^^^^
　　＝ａｄｘｗ＋ｂｃｙｚ－ａｄｙｚ－ｂｃｘｗ
　　＝ａｄ（ｘｗ－ｙｚ）＋ｂｃ（ｙｚ－ｘｗ）
　　＝（ｘｗ－ｙｚ）・（ａｄ－ｂｃ）
　　＝ｄｅｔＢ・ｄｅｔＡ……①

右辺＝ｄｅｔ（ＢＡ）
　　＝（ａｘ＋ｃｙ）（ｂｚ＋ｄｗ）－（ｂｘ＋ｄｙ）（ａｚ＋ｃｗ）
　　＝abxz＋adxw＋bcyz＋cdyw－abxz－bcxw－adyz－cdyw
　　　^^^^              ^^^^  ^^^^              ^^^^
　　＝ａｄｘｗ＋ｂｃｙｚ－ｂｃｘｗ－ａｄｙｚ
　　＝ａｄ（ｘｗ－ｙｚ）＋ｂｃ（ｙｚ－ｘｗ）
　　＝（ｘｗ－ｙｚ）・（ａｄ－ｂｃ）
　　＝ｄｅｔＢ・ｄｅｔＡ……①

したがって、左辺も右辺も①となるので、
左辺＝右辺が証明できた。……（答）

問３
ｋを実数とするとき、
tr(kA) = k trA　を証明してみよう。
　　（ａ　ｂ）
Ａ＝（　　　）とおくと、
　　（ｃ　ｄ）
定義より、ｔｒＡ＝ａ＋ｄ

　　　（ｋａ　ｋｂ）
ｋＡ＝（　　　　　）より、
　　　（ｋｃ　ｋｄ）

左辺＝ｔｒ（ｋＡ）
　　＝（ｋａ）＋（ｋｄ）
　　＝ｋ（ａ＋ｄ）
　　＝ｋ・ｔｒＡ
　　＝右辺
したがって、証明できた。……（答）