質問<298>2000/8/12
御解答ありがとうございます 先の問題に関連するのですが・・・ k を実数とします。 det(kA) = k^2 detA det(AB) = det(BA) tr(kA) = k trA という公式を証明するにはどうしたらいいでしょう・・ よろしくお願いします
お返事2000/8/12
from=武田
問1 kを実数とするとき、 det(kA) = k2 detA を証明してみよう。 (a b) A=( )とおくと、 (c d) (ka kb) kA=( )より、 (kc kd) 左辺=det(kA) =(ka)・(kd)-(kb)・(kc) =k2 ad-k2 bc =k2 (ad-bc) =k2 detA =右辺 したがって、証明が出来た。……(答) 問2 kを実数とするとき、 det(AB) = det(BA) を証明してみよう。 (a b) (x y) A=( )、B=( )とおくと、 (c d) (z w) (a b) (x y) (ax+bz ay+bw) AB=( )・( )=( ) (c d) (z w) (cx+dz cy+dw) (x y) (a b) (ax+cy bx+dy) BA=( )・( )=( ) (z w) (c d) (az+cw bz+dw) 左辺=det(AB) =(ax+bz)(cy+dw)-(ay+bw)(cx+dz) =acxy+adxw+bcyz+bdzw-acxy-adyz-bcxw-bdzw ^^^^ ^^^^ ^^^^ ^^^^ =adxw+bcyz-adyz-bcxw =ad(xw-yz)+bc(yz-xw) =(xw-yz)・(ad-bc) =detB・detA……① 右辺=det(BA) =(ax+cy)(bz+dw)-(bx+dy)(az+cw) =abxz+adxw+bcyz+cdyw-abxz-bcxw-adyz-cdyw ^^^^ ^^^^ ^^^^ ^^^^ =adxw+bcyz-bcxw-adyz =ad(xw-yz)+bc(yz-xw) =(xw-yz)・(ad-bc) =detB・detA……① したがって、左辺も右辺も①となるので、 左辺=右辺が証明できた。……(答) 問3 kを実数とするとき、 tr(kA) = k trA を証明してみよう。 (a b) A=( )とおくと、 (c d) 定義より、trA=a+d (ka kb) kA=( )より、 (kc kd) 左辺=tr(kA) =(ka)+(kd) =k(a+d) =k・trA =右辺 したがって、証明できた。……(答)