質問<3010>2006/3/5
y"-2y'+1=xsinxの特殊解の求め方がわからないのですが・・・ ★希望★完全解答★
お便り2006/3/20
from=angel
一般解込みで解く場合…、 煩雑な計算だけ、前準備として計算しておきます。 1. ∫sinx・e^(-x)dx ∫sinx・e^(-x)dx = -sinx・e^(-x) + ∫cosx・e^(-x)dx …(1) = -sinx・e^(-x) - cosx・e^(-x) - ∫sinx・e^(-x)dx …(2) (2)より 2∫sinx・e^(-x)dx = -sinx・e^(-x)-cosx・e^(-x) これより ∫sinx・e^(-x)dx = -1/2・(sinx+cosx)e^(-x) + C …(3) 2. ∫cosx・e^(-x)dx (1)より、 ∫cosx・e^(-x)dx = sinx・e^(-x) +∫sinx・e^(-x)dx (3)とあわせて、 ∫cosx・e^(-x)dx = 1/2・(sinx-cosx)・e^(-x) + C …(4) 3. ∫x・sinx・e^(-x)dx ∫x・sinx・e^(-x)dx = -1/2・x(sinx+cosx)・e^(-x) + 1/2・∫(sinx+cosx)・e^(-x) dx (3),(4)を適用して ∫x・sinx・e^(-x)dx = -1/2・x(sinx+cosx)・e^(-x) + 1/4・( -(sinx+cosx)+(sinx-cosx) )・e^(-x) + C = -1/2・(xsinx+xcosx+cosx)・e^(-x) + C …(5) 4. ∫x・cosx・e^(-x)dx ∫x・cosx・e^(-x)dx = 1/2・x(sinx-cosx)・e^(-x) - 1/2・∫(sinx-cosx)・e^(-x) dx (3),(4)を適用して ∫x・sinx・e^(-x)dx = 1/2・x(sinx-cosx)・e^(-x) - 1/4・( -(sinx+cosx)-(sinx-cosx) )・e^(-x) + C = 1/2・(xsinx-xcosx+sinx)・e^(-x) + C y''-2y'+y=0 の解の一つは y=e^x 今、y=u・e^x と置く時、与方程式は、 (u・e^x)''-2(u・e^x)'+u・e^x=xsinx ( u''+2u'+u-2(u'+u)+u )e^x=xsinx u''・e^x=xsinx u''=x・sinx・e^(-x) よって、 u' = ∫x・sinx・e^(-x) dx = -1/2・(xsinx+xcosx+cosx)・e^(-x) + C C=-2aと置くと、 u = -1/2・∫( (xsinx+xcosx+cosx)・e^(-x)-2a )dx = -1/2・( -1/2・(xsinx+xcosx+cosx)・e^(-x) + 1/2・(xsinx-xcosx+sinx)・e^(-x) + 1/2・(sinx-cosx)・e^(-x) -2ax ) + b = -1/2・( -(xcosx+cosx-sinx)・e^(-x) -2ax ) + b = 1/2・(xcosx+cosx-sinx)・e^(-x) + ax + b よって、 y= u・e^x =1/2・(xcosx+cosx-sinx)+(ax+b)e^x 特殊解に絞って解く場合… 特殊解 y=Axcosx+Bxsinx+Ccosx+Dsinx が存在すると仮定する。 その時、 y'=Bxcosx-Axsinx+(A+D)cosx+(B-C)sinx y''=-Axcosx-Bxsinx+(2B-C)cosx-(2A+D)sinx 与方程式に代入すると、 -2Bxcosx+2Axsinx-2(A-B+D)cosx-2(A+B-C)sinx=xsinx よって、 -2B=0, 2A=1, A-B+D=0, A+B-C=0 の時、与方程式を満たす これを解いて A=1/2, B=0, C=1/2, D=-1/2 ゆえに、 y=1/2・(xcosx+cosx-sinx) は、与方程式の解である。 後は一般解 (ax+b)e^x を足してあげれば終わり。