質問＜３０１０＞２００６／３／５
from=デ・ロッシ
「微分方程式」

y"-2y'+1=xsinxの特殊解の求め方がわからないのですが・・・

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／２０
from=angel

一般解込みで解く場合…、
煩雑な計算だけ、前準備として計算しておきます。

1. ∫sinx・e^(-x)dx
　∫sinx・e^(-x)dx
　= -sinx・e^(-x) + ∫cosx・e^(-x)dx　　…(1)
　= -sinx・e^(-x) - cosx・e^(-x) - ∫sinx・e^(-x)dx　…(2)

　(2)より
　2∫sinx・e^(-x)dx = -sinx・e^(-x)-cosx・e^(-x)

　これより
　∫sinx・e^(-x)dx = -1/2・(sinx+cosx)e^(-x) + C　…(3)

2. ∫cosx・e^(-x)dx
　(1)より、
　∫cosx・e^(-x)dx = sinx・e^(-x) +∫sinx・e^(-x)dx

　(3)とあわせて、
　∫cosx・e^(-x)dx = 1/2・(sinx-cosx)・e^(-x) + C　…(4)


3. ∫x・sinx・e^(-x)dx
　∫x・sinx・e^(-x)dx
　= -1/2・x(sinx+cosx)・e^(-x) + 1/2・∫(sinx+cosx)・e^(-x) dx

　(3),(4)を適用して
　∫x・sinx・e^(-x)dx
　= -1/2・x(sinx+cosx)・e^(-x) 
　　　　+ 1/4・( -(sinx+cosx)+(sinx-cosx) )・e^(-x) + C
　= -1/2・(xsinx+xcosx+cosx)・e^(-x) + C　…(5)

4. ∫x・cosx・e^(-x)dx
　∫x・cosx・e^(-x)dx
　= 1/2・x(sinx-cosx)・e^(-x) - 1/2・∫(sinx-cosx)・e^(-x) dx

　(3),(4)を適用して
　∫x・sinx・e^(-x)dx
　= 1/2・x(sinx-cosx)・e^(-x) 
　　　　- 1/4・( -(sinx+cosx)-(sinx-cosx) )・e^(-x) + C
　= 1/2・(xsinx-xcosx+sinx)・e^(-x) + C

y''-2y'+y=0 の解の一つは y=e^x
今、y=u・e^x と置く時、与方程式は、

　(u・e^x)''-2(u・e^x)'+u・e^x=xsinx
　( u''+2u'+u-2(u'+u)+u )e^x=xsinx
　u''・e^x=xsinx
　u''=x・sinx・e^(-x)

よって、
　u' = ∫x・sinx・e^(-x) dx = -1/2・(xsinx+xcosx+cosx)・e^(-x) + C

C=-2aと置くと、
　u
　= -1/2・∫( (xsinx+xcosx+cosx)・e^(-x)-2a )dx
　= -1/2・( -1/2・(xsinx+xcosx+cosx)・e^(-x) 
　　　　+ 1/2・(xsinx-xcosx+sinx)・e^(-x) 
　　　　　　+ 1/2・(sinx-cosx)・e^(-x) -2ax ) + b
　= -1/2・( -(xcosx+cosx-sinx)・e^(-x) -2ax ) + b
　= 1/2・(xcosx+cosx-sinx)・e^(-x) + ax + b

よって、
　y= u・e^x =1/2・(xcosx+cosx-sinx)+(ax+b)e^x

特殊解に絞って解く場合…
　特殊解 y=Axcosx+Bxsinx+Ccosx+Dsinx が存在すると仮定する。
　その時、
　　y'=Bxcosx-Axsinx+(A+D)cosx+(B-C)sinx
　　y''=-Axcosx-Bxsinx+(2B-C)cosx-(2A+D)sinx

　与方程式に代入すると、
　　-2Bxcosx+2Axsinx-2(A-B+D)cosx-2(A+B-C)sinx=xsinx
　よって、
　　-2B=0, 2A=1, A-B+D=0, A+B-C=0 の時、与方程式を満たす
　これを解いて
　　A=1/2, B=0, C=1/2, D=-1/2
　ゆえに、
　　y=1/2・(xcosx+cosx-sinx)
　は、与方程式の解である。

後は一般解 (ax+b)e^x を足してあげれば終わり。