質問

２つの直線ｌ(1)とｌ(2)は放物線y=x^2＋xに接していて、
ｌ(1)は傾きが-3で、ｌ(2)は点(0,-1)を通り傾きが正だ。
①ｌ(1)とｌ(2)の方程式を求めよ。
②放物線と２つの直線ｌ(1),ｌ(2)で囲まれた部分の面積を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／１８
from=wakky

①
ｙ＝ｘ^2＋ｘより
ｙ’＝２ｘ＋１
直線Ｌ１と放物線の接点を点Ａ（ａ，ａ^2＋ａ）とすると
直線Ｌ１の方程式は
ｙ＝（２ａ＋１）（ｘ－ａ）＋ａ^2＋ａと書ける
傾きが－３であることから
２ａ＋１＝３　∴ａ＝－２
よって直線Ｌ１の方程式は
ｙ＝－３ｘ－４・・・（答）
直線Ｌ２と放物線の接点を点Ｂ（ｂ，ｂ^2＋ｂ）とるすと
直線Ｌ２の方程式は
ｙ＝（２ｂ＋１）（ｘ－ｂ）＋ｂ^2＋ｂと書ける
これが点（０，－１）を通るから
ｘ＝０，ｙ＝－１を代入して解くと
ｂ＝±１
傾きは正だから２ｂ＋１＞０を満たすのはｂ＝１
よって直線Ｌ２の方程式は
ｙ＝３ｘ－１・・・（答）

②
点Ａ（－２，２），点Ｂ（１，２）
また直線Ｌ１と直線Ｌ２の交点のｘ座標は
－３ｘ－４＝３ｘ－１を解いてｘ＝－１／２
従って求める面積は
∫(-2→-1/2）｛ｘ^2＋ｘ－（－３ｘ－４）｝ｄｘ
＋∫(-1/2→1）｛ｘ^2＋ｘ－（３ｘ－１）｝ｄｘ
＝９／４・・・（答）