質問＜３０１９＞２００６／３／１０
from=鰯
「整式の除法」

整式ｆ(ｘ)＝ｘ^(20)＋ａｘ^(10)＋ｂがｘ^(2)＋ｘ＋１で割り切れるとき、
定数ａ，ｂの値を求めよ。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／１２
from=wakky

すべてを書き上げるのは大変なので概要だけ書きます。

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)から
x^3=(x-1)(x^2+x+1)+1
A=(x-1)(x^2+x+1)とおくと
Aはx^2+x+1で割り切れます。
また、x^3=A+1
x^20+ax^10+b
=x^2*(x^3)^6+ax*(x^3)^3+b
=x^2*(A+1)^6+ax*(A+1)^3+b
（二項定理を利用して）
=x^2*{Aの倍数（その１）+1}+ax*{Aの倍数（その２）+1}+b
=Aの倍数（その３）+x^2+ax+b
Aはx^2+x+1で割り切れるから
x^20+ax^10+bがx^2+x+1で割り切れるためには
x^2+ax+bがx^2+x+1で割り切れることなので
a=b=1・・・（答）
もう少しエレガントにいかないものか？？？