質問＜３０２１＞２００６／３／１１
from=悠介
「微分方程式」

dx/dt = exp(-at) - bx
を、x = ～　という様に解きたいのです。
お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／２０
from=angel

dx/dt=-bx を解くと、dx/dt=A・exp(-bt)

さて、dx/dt=exp(-at)-bx を解くにあたり、
x=Au・exp(-bt)　(uはtの関数)と置くと、

　A(du/dt-bu)exp(-bt)=exp(-at)-Abu・exp(-bt)
ゆえに
　du/dt=1/A・exp((b-a)t)

a=bの時
　du/dt=1/A より、u=t/A+C
　x=A(t/A+C)・exp(-bt)
　 =(t+AC)exp(-bt)

　AC=αと置く時、x=(t+α)exp(-bt)

a≠bの時
　du/dt=1/A・exp((b-a)t) より、u=1/A(b-a)・exp((b-a)t)+C
　x=A・(1/A(b-a)・exp((b-a)t)+C)・exp(-bt)
　 =1/(b-a)・exp(-at)+AC・exp(-bt)

　AC=αと置く時、x=1/(b-a)・exp(-at)+α・exp(-bt)