質問＜３０４１＞２００６／３／２４
from=貴雄
「全単射」

Ｆ：（Ｘ）＝（ａｂ）（ｘ）
　　（Ｙ）　（ｃｄ）（ｙ）
となるＦが全単射であるための必要十分条件を
全単射の定義を用いてａｄ－ｂｃ≠０となることを示せ。

という問題がわかりません。
どなたか詳しく教えてください。おねがいします

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／２９
from=BossF

行列は書きにくいですね～(^^;;
それに、「定義を用いて」とあるからには、かなり厳密にしなきゃいけないと思うん
ですが、なんせ習ったことがないから、基本をしりません。違ってたら、堪忍

閑話休題　以下は既知とします

「二次正方行列Ａ=( a b )が逆行列をもつ
　               ( c d )

      　　　　　　　　　　　　　⇔」

[解]
以下　( a b )＝Ａ　とおき、Ａの逆行列をA~と書く
　　　( c d )

まず、Ｆが全単射　⇒　ａｄ－ｂｃ≠０　を示す

Ｆが全単射とすると、Ｆは全射だから　

Ａ(ｐ)＝(1)     Ａ(ｒ)＝(1)
  (ｑ)　(0)       (ｓ)  (0)

なる、p,q,r,s が存在

すると、Ｂ＝(p q) とおけば
            (r s)

　　ＡＢ＝ＥであるからＢ＝~A 

     ~A が存在するからａｄ－ｂｃ≠０　■

次に、ａｄ－ｂｃ≠０　⇒　Ｆが全単射　を示す

（ad-bc≠０ならば、~A が存在することに注意する）

任意の(X)に対し　(x)＝~A(X) …①なる或る(x)が存在
      (Y)        (y)    (Y)     　　    (y)

すると①の両辺に左からＡをかけて
　　　Ａ(x)=(X) が任意の(X)に対して成立 
        (y) (Y)         (Y)
            i.e.全射

さてＡ(x1)=(u) ∧ Ａ(x2)=(u) のとき
      (y1) (v)      (y2) (v)

　Ａ(x1)-Ａ(x2)=Ａ(x1-x2)=(0)…②
    (y1)   (y2)   (y1-y2) (0)

②の中辺右辺に左から~Aをかけて
　(x1-x2)=~A(0)=(0) 
  (y1-y2)   (0) (0)
　　すなわち　x1=x2,y1=y2
        i.e. 単射

以上より
　　Ｆが全単射であるための必要十分条件は
　　　　　　ａｄ－ｂｃ≠０