質問＜３０４４＞２００６／３／２７
from=ｔ
「微分」

lim[x→0]a^x-1/x (a＞0)をlim[x→0]e^x-1/x=1を用いて答えよ。
が解けません。
どなたかわかりやすく教えていただけないでしょうか？

★希望★完全解答★

お便り２００６／３／２９
from=S（社会人）

（ 答案 ）
０＜ａ＾ｘ＜∞、０＜ｅ＾ｔ＜∞　はおのおの単調増加関数であるから　
ａ＾ｘ＝ｅ＾ｔ　なる等号が成立する　（ｘ，ｔ）　の一対一の組み合わせが
存在する。

このとき、　ｔ＝ｘｌｏｇ（ａ）　から　ｘ→０　ならば　ｔ→０
したがって、
与式＝ｌｉｍ_{ｔ→０}[｛ａ＾（ｔ／ｌｏｇ（ａ））}－１]／｛ｔ／ｌｏｇ（ａ）｝　…　［１］

ここで、　ａ＾｛ｔ／ｌｏｇ（ａ）｝＝ｕ　とおくと
ｔ／ｌｏｇ（ａ）＝ｌｏｇ（ｕ）／ｌｏｇ（ａ）　で　ｔ＝ｌｏｇ（ｕ）　から
ａ＾｛ｔ／ｌｏｇ（ａ）｝＝ｕ＝ｅ＾ｔ

よって、
［１］＝ｌｉｍ_{ｔ→０}｛ｌｏｇ（ａ）｝[{（ｅ＾ｔ）－１}／ｔ]
＝｛ｌｏｇ（ａ）｝*１
＝ｌｏｇ（ａ）　…　（ 答 ）

のようになりました。