質問<3044>2006/3/27
lim[x→0]a^x-1/x (a>0)をlim[x→0]e^x-1/x=1を用いて答えよ。 が解けません。 どなたかわかりやすく教えていただけないでしょうか? ★希望★完全解答★
お便り2006/3/29
from=S(社会人)
( 答案 ) 0<a^x<∞、0<e^t<∞ はおのおの単調増加関数であるから a^x=e^t なる等号が成立する (x,t) の一対一の組み合わせが 存在する。 このとき、 t=xlog(a) から x→0 ならば t→0 したがって、 与式=lim_{t→0}[{a^(t/log(a))}-1]/{t/log(a)} … [1] ここで、 a^{t/log(a)}=u とおくと t/log(a)=log(u)/log(a) で t=log(u) から a^{t/log(a)}=u=e^t よって、 [1]=lim_{t→0}{log(a)}[{(e^t)-1}/t] ={log(a)}*1 =log(a) … ( 答 ) のようになりました。