質問＜３０６２＞２００６／４／３
from=あーあ
「導関数」

次の問題を教えて下さい。
1、ｙ＝tan＾-1（1/2tanｘ/2）
2、log｜1-sinｘ/1+sinｘ｜

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／５
from=S（社会人）

こんにちは。　２.　だけです。

log｜1-sinｘ/1+sinｘ｜　の微分の基礎となる部分ですが…

いま、　f(x)=y　とおくと題意は
｛log|f(x)|｝'=d(log|y|)/dx
=｛d(log|y|)/dy｝*(dy/dx)
=(1/y)*y'
=｛1/f(x)｝*f'(x)

また、　g(x)/h(x)=f(x)　のときは　1/h(x)=t(x)　とおくと
f'(x)=｛g(x)t(x)｝'
=g'(x)t(x)+g(x)t'(x)
=g'(x)｛1/h(x)｝+g(x)[-h'(x)/｛h(x)｝^2]
=｛g'(x)h(x)-g(x)h'(x)｝/｛h(x)｝^2

t'(x)　の部分については、　h(x)=z　とおくと　1/z=t(x)　から　1=z*t(x)
を微分すると
0=z'*t(x)+z*t'(x)=h'(x)*｛1/h(x)｝+h(x)*t'(x)　で整理すると、
t'(x)=-h'(x)/｛h(x)｝^2

しかして、
f(x)=1-sinｘ/1+sinｘ
g(x)=1-sinｘ
h(x)=1+sinｘ
とおくと、与式の微分は　-2｛(1+sinx)^2｝/cosx

（ 計算が誤っていませんように。 ）

お便り２００６／４／７
from=／で

1) 質問＜２６２６＞(類題のwakkyさんの丁寧な解答)などを参照してください。
2) 質問＜２９１６＞に解答しました。