質問＜３０６８＞２００６／４／５
from=満
「微分の計算」

y=sin^(-1)の時、次を計算せよ。
(1-x^2)y''-xy' 

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／１２
from=angel

y=sin^(-1)(x) より、
　x=sin(y)　…(1)

両辺を x で微分すると、
　1=y'cos(y)
よって、
　y'=1/cos(y)　…(2)

さらに両辺を x で微分すると、
　y''=y'・sin(y)/cos(y)^2
(2)を代入して
　y''=sin(y)/cos(y)^3　…(3)

よって、
(1-x^2)y''-xy'
= (1-sin(y)^2)・sin(y)/cos(y)^3 - sin(y)・1/cos(y)
= cos(y)^2・sin(y)/cos(y)^3 - sin(y)/cos(y)
= sin(y)/cos(y) - sin(y)/cos(y)
= 0

※y'=1/cos(y)=(1-x^2)^(-1/2)から計算していっても良いです。