質問<3073>2006/4/9
よろしくお願いします 今岡夫妻、金本夫妻、矢野夫妻の3組の夫妻が会食をする事になった。 ・食事の前に一列に並んで記念撮影をする時 1,全ての夫妻が隣り合う並び方は何通り有るか 2,男性が隣り合わない並び方は何通り有るか ・円形のテーブルの周りに等間隔に座って食事をするとき 1,向かい合っている人が必ず異性である座り方は何通りあるか 2,途中で今岡夫妻のお子さんが習い事から帰ってきたので、いっしょに 食事をすることになったが、まだ小さいので今岡夫妻のどちらか一方の 隣りに席を追加したい。追加した後の座り方は何通りあるか。 ★希望★完全解答★
お便り2006/4/11
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今岡=I、金本=K、矢野=Y 【横一列】 I、K、Yの家族の並び方が3×2=6通り それらのそれぞれに対して、I、K、Yの3家族それぞれに夫婦が入れ替わる 2通りの並び方があるので、さらに2を3回かけて 6×2×2×2=48通り (答え) 男性が隣り合わないパターンは、まず左からI,K,Yの関係を維持して書き出すと、 I○K○Y○ I○K○○Y I○○K○Y ○I○K○Y の4パターン。 このそれぞれに対して、I,K,Yの並び方が3×2=6通りあり、 さらにそれらのそれぞれに対して、奥様方の並びが3×2=6通りあるので、 4×6×6=144通り (答え) 【円形のテーブル】 向かい合っている人が必ず異性となるのは、 1)同性が3人並ぶ 2)同性が一人置き(=男女男女… と男女が交互) のどちらかの場合です。 1)の場合、例えば時計の12時、2時、4時の位置に男性の場所を固定 すると、I,K,Yの並び方で3×2=6通りあり、これらは回転すると同じに なるということはありません。 さらに、それらのそれぞれに対して、奥様方の並びが3×2=6通りありますから、 6×6=36通り ………(1) 2)の場合、例えばまず12時の位置に男性のIを固定すると、4時と8時の 位置にそれぞれK,Yが入るのと、入れ替えてY,Kが入る2通りがあります。 これらは回転しても同じになりません。 次に、12時の位置をYに変えると、I,Kがどちらにあっても、今度は最初の 12時の位置にIが入る2通りのどちらかが回転しただけで相対関係は変わりません。 Kが12時の位置の場合も同様です。したがって男性の位置関係から2通り。 この2通りそれぞれに対して、女性の位置関係は3×2=6通りあり、今度は 男性が決まっていることから、これらは回転しても同じになることはありません。 よって、 2×6=12通り ………(2) (1),(2)を合わせて、48通り (答え) 6人の円卓の座り方は、6!通りに対して回転して同じになるパターンが6通り あるので、6!÷6=120通りあります。 (1人をどこかに固定して残り5人の順列=5!と考えてもよい) ご子息はI夫妻それぞれの左右、つまり4箇所に座ることができますから、 120×4=480通りの並び方になります。 ところが、I夫妻が並んで座っている場合、ご子息がI夫の右(左)とI妻の左(右)に座ることは 同じで、480通りには重複するパターンが含まれています。 つまり、I夫妻が並んで座る場合を数え上げ、それらを引けばよいことになります。 I夫が12時の位置に座っているとして、I妻は2時か10時の位置に座っているのですが、 2時の位置にいる場合を考えて2倍すればよいですね。 残り4席の座り方から4!=24通りと計算できますから、I夫妻が並んで座るのは 24×2=48通りあるとわかります。よって求める答えは480-48=432通り(答え)