質問＜３０９５＞２００６／４／１５
from=鰯
「図形」

面積１の△ABCにおいて、辺AB上に１点Pをとり、Pを通り辺BCに平行な直線と辺ACの
交点をQとする。更に線分PQの中点に関してAと対称な点をRとする。点Pが辺AB上を
動くとき、△ABCと△PQRの共通部分の面積Sの最大値を求めよ。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２２
from=BossF

[解] AR と直線PQ,BCの交点を各々G,H とし
　　 AG/AH=d とおくと

　△PQR∽△ABCで相似比は d:1

i)　0＜d≦1/2 のとき R は△ABCの内部にあるから

　　S=△PQR=d^2≦1/2 (等号はd=1/2のとき)

ii) 1/2≦d＜1 のとき R は△ABCの外部にあり、
△PQRの△ABCからはみだした部分を△Tとおけば
　△T∽△ABCで相似比は 2d-1:1　だから

　　S=△PQR-△T
     =d^2-(2d-1)^2
     =-3d^2+4d-1
     =-3(d-2/3)^2+1/3≦1/3 (等号はd=2/3のとき)

以上より　Sの最大値は1/3　■