質問<3095>2006/4/15
面積1の△ABCにおいて、辺AB上に1点Pをとり、Pを通り辺BCに平行な直線と辺ACの 交点をQとする。更に線分PQの中点に関してAと対称な点をRとする。点Pが辺AB上を 動くとき、△ABCと△PQRの共通部分の面積Sの最大値を求めよ。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/4/22
from=BossF
[解] AR と直線PQ,BCの交点を各々G,H とし AG/AH=d とおくと △PQR∽△ABCで相似比は d:1 i) 0<d≦1/2 のとき R は△ABCの内部にあるから S=△PQR=d^2≦1/2 (等号はd=1/2のとき) ii) 1/2≦d<1 のとき R は△ABCの外部にあり、 △PQRの△ABCからはみだした部分を△Tとおけば △T∽△ABCで相似比は 2d-1:1 だから S=△PQR-△T =d^2-(2d-1)^2 =-3d^2+4d-1 =-3(d-2/3)^2+1/3≦1/3 (等号はd=2/3のとき) 以上より Sの最大値は1/3 ■