質問＜３１０４＞２００６／４／１８
from=ａｎ
「２直線の交点の軌跡」

ｍが実数全体を動くとき、２直線

ｍｘ－ｙ＝０、　ｘ＋ｍｙ－ｍ－２＝０

　の交点ｐはどんな図形を描くか。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２０
from=ZELDA

mx-y=0は原点を通り、傾きmの直線をあらわす。
x+my-m-2=0はmが0でないとき、(2,1)を通り、傾き-1/mの直線をあらわす。
したがって、この2直線は常に直角に交わるので、
交点の軌跡は、原点と(2,1)を直径の両端とする円である。
ただし、点(0,1)は除く。

お便り２００６／４／２１
from=S（社会人）

こんにちは。

（ 答案 ）
（１） 交点　ｐ　の座標を　（Ｘ，Ｙ）　とすると、
ｍＸ－Ｙ＝０　…　［１］、　Ｘ＋ｍＹ－ｍ－２＝０　…　［２］

（イ） Ｘ≠０　のとき、　［１］　から　ｍ＝Ｙ／Ｘ、
したがって、　［２］　から　Ｘ＋（Ｙ／Ｘ）Ｙ－（Ｙ／Ｘ）－２＝０
変形整理すると、　
（Ｘ－１）＾２＋｛Ｙ－（１／２）｝＾２＝｛（√５）／２｝＾２
ここで、　（Ｘ，Ｙ）　を　（ｘ、ｙ）　に書き替えて
（ｘ－１）＾２＋｛ｙ－（１／２）｝＾２＝｛（√５）／２｝＾２　…［３］

（ロ） また、　Ｘ＝０　のときは　［１］　から　Ｙ＝０
これは　［２］　で　ｍ＝－２　により保証され、また　（Ｘ，Ｙ）＝（０，０）
は　［３］　をみたすから、　Ｘ＝０　のときについても　［３］　が成り立つ。

（ハ） よって、点　ｐ（Ｘ，Ｙ）　は円　［３］　上にあることが必要である。


ーーーーーーーー以下訂正しています。（４月２２日）ーーーーーーーーーーー


（２） 一方、直線　ｍｘ－ｙ＝０　は　ｙ　軸を表さない。また、
直線　ｘ＋ｍｙ－ｍ－２＝０　は　ｘ　軸を表さない。
したがって、円　［３］　上の　２　点　（０，１）、（２，０）　は　
２　直線上の点ではない。よって、求める軌跡からは除外する。
ただし、　原点（０，０）　は　（１）　の　（ロ）　により求める軌跡の一部である
ことが保証される。

（３）  また他方、円　［３］　上の　２　点　（０，１）、（２，０）　以外の
或る点　ｑ（ｘ´，ｙ´）　が　２直線の交点ではない、
すなわち
ｍｘ´－ｙ´≠０　または　ｘ´＋ｍｙ´－ｍ－２≠０
であるとすると、この対偶は
ｍｘ´－ｙ´＝０　かつ　ｘ´＋ｍｙ´－ｍ－２＝０
である任意の点　ｑ（ｘ´，ｙ´）　は円　［３］　上にはない
となり、これは　（１）　から矛盾である。

（４） ゆえに、点　ｐ　の軌跡は円
（ｘ－１）＾２＋｛ｙ－（１／２）｝＾２＝｛（√５）／２｝＾２
から、　２　点　（０，１）、（２，０）　だけを除いたものであることが必要十分
である。