質問<3104>2006/4/18
mが実数全体を動くとき、2直線 mx-y=0、 x+my-m-2=0 の交点pはどんな図形を描くか。 ★希望★完全解答★
お便り2006/4/20
from=ZELDA
mx-y=0は原点を通り、傾きmの直線をあらわす。 x+my-m-2=0はmが0でないとき、(2,1)を通り、傾き-1/mの直線をあらわす。 したがって、この2直線は常に直角に交わるので、 交点の軌跡は、原点と(2,1)を直径の両端とする円である。 ただし、点(0,1)は除く。
お便り2006/4/21
from=S(社会人)
こんにちは。 ( 答案 ) (1) 交点 p の座標を (X,Y) とすると、 mX-Y=0 … [1]、 X+mY-m-2=0 … [2] (イ) X≠0 のとき、 [1] から m=Y/X、 したがって、 [2] から X+(Y/X)Y-(Y/X)-2=0 変形整理すると、 (X-1)^2+{Y-(1/2)}^2={(√5)/2}^2 ここで、 (X,Y) を (x、y) に書き替えて (x-1)^2+{y-(1/2)}^2={(√5)/2}^2 …[3] (ロ) また、 X=0 のときは [1] から Y=0 これは [2] で m=-2 により保証され、また (X,Y)=(0,0) は [3] をみたすから、 X=0 のときについても [3] が成り立つ。 (ハ) よって、点 p(X,Y) は円 [3] 上にあることが必要である。 ーーーーーーーー以下訂正しています。(4月22日)ーーーーーーーーーーー (2) 一方、直線 mx-y=0 は y 軸を表さない。また、 直線 x+my-m-2=0 は x 軸を表さない。 したがって、円 [3] 上の 2 点 (0,1)、(2,0) は 2 直線上の点ではない。よって、求める軌跡からは除外する。 ただし、 原点(0,0) は (1) の (ロ) により求める軌跡の一部である ことが保証される。 (3) また他方、円 [3] 上の 2 点 (0,1)、(2,0) 以外の 或る点 q(x´,y´) が 2直線の交点ではない、 すなわち mx´-y´≠0 または x´+my´-m-2≠0 であるとすると、この対偶は mx´-y´=0 かつ x´+my´-m-2=0 である任意の点 q(x´,y´) は円 [3] 上にはない となり、これは (1) から矛盾である。 (4) ゆえに、点 p の軌跡は円 (x-1)^2+{y-(1/2)}^2={(√5)/2}^2 から、 2 点 (0,1)、(2,0) だけを除いたものであることが必要十分 である。