質問

関数ｙ＝x＋√２x＋２の定義域、値域および逆関数を求めよ。
また、逆関数の定義域と値域も求めよ。

どうぞ宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２０
from=S（社会人）

こんにちは。

（ 答案 ）
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ＋｛√（２ｘ）｝＋２　について、
（１） ｙ　が実数であるとすると、　０≦２ｘ　すなわち　０≦ｘ　であるから
ｆ（ｘ）　の定義域は区間　［０，∞）　…　（ 答 ）

（２） ０＜ｈ　のとき任意の　ｘ（≧０）　について、
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ＋ｈ）
＝[ｘ＋｛√（２ｘ）｝＋２]－[（ｘ＋ｈ）＋｛√（２（ｘ＋ｈ））｝＋２]
＝－｛ｈ＋√２（ｘ＋ｈ）｝＜０
であるから、　ｙ　は上記　（１）　の定義域で単調に増加する。　…　［１］
いま、　ｆ（０）＝２　であるから、値域は区間　［２，∞）　…　（ 答 ）

（３） ［１］　から区間　［２，∞）　の任意の　ｙ　について、
或る　ｘ（≧０）　が一意に定まるから、当該区間を定義域として
　ｆ（ｘ）　の逆関数　ｇ（ｘ）　が存在する。
このとき、逆関数の記法によれば　ｙ＝ｆ（ｘ）　について　
（０≦）ｘ＝ｇ（ｙ）　…　［２］
したがって、　ｙ＝ｇ（ｙ）＋｛√（２ｇ（ｙ））｝＋２
変形整理すると、
　｛ｇ（ｙ）｝＾２＋２（１－ｙ）ｇ（ｙ）＋（ｙ－２）＾２＝０
ｇ（ｙ）　について解くと、　ｇ（ｙ）＝ｙ－１±√（２ｙ－３）
ここで、　ｙ（≧２）　を　ｘ　に書き替えると
ｇ（ｘ）＝ｘ－１±√（２ｘ－３）

このとき、　ｇ（ｘ）＝ｘ－１＋√（２ｘ－３）　…　［３］　
については、値域が　［２］　から　［０，∞）、また　定義域は　２≦ｘ　であった
ことに注意して、例えば値域の　１　つの　ｇ（ｘ）＝１　を見ると、　
１＝ｘ－１＋√（２ｘ－３）　から　ｘ＝３±√２　を得るが、　ｘ＝３＋√２（≧２）
とすると　ｇ（ｘ）＝３＋２√２≠１　で不適切、また　ｘ＝３－√２＜２　も不適切
で、定義域内に　ｇ（ｘ）＝１　に対応する　ｘ　が存在しない。
したがって、　［３］　は逆関数としては不適である。

いま先に、逆関数の存在が保証されているから

よって、
求める逆関数は　ｇ（ｘ）＝ｘ－１－√（２ｘ－３）　（ ２≦ｘ ）　…　（ 答 ）