質問<3105>2006/4/18
関数y=x+√2x+2の定義域、値域および逆関数を求めよ。 また、逆関数の定義域と値域も求めよ。 どうぞ宜しくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/4/20
from=S(社会人)
こんにちは。 ( 答案 ) y=f(x)=x+{√(2x)}+2 について、 (1) y が実数であるとすると、 0≦2x すなわち 0≦x であるから f(x) の定義域は区間 [0,∞) … ( 答 ) (2) 0<h のとき任意の x(≧0) について、 f(x)-f(x+h) =[x+{√(2x)}+2]-[(x+h)+{√(2(x+h))}+2] =-{h+√2(x+h)}<0 であるから、 y は上記 (1) の定義域で単調に増加する。 … [1] いま、 f(0)=2 であるから、値域は区間 [2,∞) … ( 答 ) (3) [1] から区間 [2,∞) の任意の y について、 或る x(≧0) が一意に定まるから、当該区間を定義域として f(x) の逆関数 g(x) が存在する。 このとき、逆関数の記法によれば y=f(x) について (0≦)x=g(y) … [2] したがって、 y=g(y)+{√(2g(y))}+2 変形整理すると、 {g(y)}^2+2(1-y)g(y)+(y-2)^2=0 g(y) について解くと、 g(y)=y-1±√(2y-3) ここで、 y(≧2) を x に書き替えると g(x)=x-1±√(2x-3) このとき、 g(x)=x-1+√(2x-3) … [3] については、値域が [2] から [0,∞)、また 定義域は 2≦x であった ことに注意して、例えば値域の 1 つの g(x)=1 を見ると、 1=x-1+√(2x-3) から x=3±√2 を得るが、 x=3+√2(≧2) とすると g(x)=3+2√2≠1 で不適切、また x=3-√2<2 も不適切 で、定義域内に g(x)=1 に対応する x が存在しない。 したがって、 [3] は逆関数としては不適である。 いま先に、逆関数の存在が保証されているから よって、 求める逆関数は g(x)=x-1-√(2x-3) ( 2≦x ) … ( 答 )