質問<3107>2006/4/19
(1)lim[x→0](e^x-1)/xを計算せよ (2)lim[x→0](1-x^2)^1/x 過去の投稿を見ると同じ問題もあったのですが、 いまいち理解できません。 (1)はe^x-1=tとおくやり方で、 (2)は()内を因数分解するやり方で、 できれば詳しく解説していただけると嬉しいです; ★希望★完全解答★
お便り2006/4/21
from=S(社会人)
(1)lim[x→0](e^x-1)/x だけですが… ( 答案 ) (イ) いま、 a[n]={1+(1/n)}^n ( n=1,2,… ) なる 数列 {a[n]} は収束することが判っていて、その極限値をもって e なる数 と定義される。 これは、 lim_{k→0}(1+k)^(1/k)=e と書き替えることが出来る。 (ロ) 次に、 0<a≠1 のとき、 (log_[a]x)’=lim_{h→0}(1/h){log(x+h)-log(x)} =lim_{h→0}(1/h)log_[a]{1+(h/x)} =lim_{h→0}(1/x)(x/h)log_[a]{1+(h/x)} =(1/x)lim_{k→0}log_[a]{1+k)^(1/k) ( k=h/x、h→0 のとき k→0 ) =(1/x)log_[a]e =1/x ( a=e のとき ) (ハ) 一方、 y=e^x は log_[e](y)=x で微分すると, (1/y)y´=1 から y´=y=e^x すなわち、 (e^x)´=e^x (ニ) したがって、 > lim[x→0](e^x-1)/x =lim_{h→0}(1/h){f(0+h)-f(0)} ( h=x、f(x)=e^x ) =f´(0) =1 ( f´(x)=e^x ) … ( 答 )
お便り2006/4/21
from=S(社会人)
良く指示を読んでいませんでしたので、改めて… > (1)lim[x→0](e^x-1)/x はe^x-1=tとおくやり方で… ( 答案 ) e^x-1=t とおくと x→0 のとき t→0 また、 e^x=t+1 から x=log_[e](t+1) したがって、 与式=lim_[t→0]t/{log_[e](t+1)} =lim_[t→0]1/{log_[e](1+t)^(1/t)} =1/log_[e]e ( 前 res 定義参照 ) =1 … ( 答 ) ※ 御指示どおりの方が簡単に答が出ますね。
お便り2006/4/21
from=S(社会人)
いま、 (2)lim[x→0](1-x^2)^1/x も解りました。 与式=lim_[x→0]{(1+x)(1-x)}^(1/x) =lim_[x→0]{(1+x)^(1/x)}{(1-x)^(1/x)} ( 1+x>0、1-x>0 ) … [1] ここで、 t=-x とおくと x→0 のとき t→0 であるから [1]=lim_[x→0,t→0]{(1+x)^(1/x)}/{(1+t)^(1/t)} =e/e =1 … ( 答 )