質問＜３１１５＞２００６／４／２３
from=ポン
「円と直線」

円x^2+y^2=25と直線y=3x+kが共有点をもつとき、定数kの値の範囲を求めよ。
また、接するときのkの値と接点の座標を求めよ。

円と直線の距離dを求めてからがわかりません。どうかお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２４
from=ZELDA

(1)x^2+y^2=25・・・・(1)
   y=3x+k・・・・・・(2)
[(1)と(2)が共有点を持つ。]
⇔
[((1)が表す円の中心の座標と(2)が表す直線との距離)
≦
(円(1)の半径)]
⇔
|k|/√(3^2+1^2)≦5
⇔
|k|≦5√10
⇔
-5√10≦k≦5√10・・・・(答) 

お便り２００６／４／２４
from=wakky

解答その１

y=3x+kをx^2+y^2=25に代入して整理すると
10x^2+6kx+k^2-25=0・・・①
円x^2+y^2=25と直線y=3x+kが共有点をもつとは
①が実数解を持つこと
①判別式をDとすると
D/4=9k^2-10(k^2-25)≧0
これを解いて
-5√10≦k≦5√10・・・（答）
接すのはD/4=0のときだから
k=±5√10・・・（答）
接点の座標は省略します。

解答その２

ポンさんがやったように、距離を利用します。
なお、円と直線の距離ではなくて
「円の中心」と直線の距離を利用します。
円x^2+y^2=25
は、原点中心、半径5の円なので
原点と直線y=3x+kの距離が5以下なら共有点を持ちます。
原点と直線y=3x+kの距離は
|k|/√10なので
|k|/√10≦5　、|k|≦5√10
すなわち
-5√10≦k≦5√10
接するのは等号が成り立つときですね。