質問<3115>2006/4/23
円x^2+y^2=25と直線y=3x+kが共有点をもつとき、定数kの値の範囲を求めよ。 また、接するときのkの値と接点の座標を求めよ。 円と直線の距離dを求めてからがわかりません。どうかお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/4/24
from=ZELDA
(1)x^2+y^2=25・・・・(1) y=3x+k・・・・・・(2) [(1)と(2)が共有点を持つ。] ⇔ [((1)が表す円の中心の座標と(2)が表す直線との距離) ≦ (円(1)の半径)] ⇔ |k|/√(3^2+1^2)≦5 ⇔ |k|≦5√10 ⇔ -5√10≦k≦5√10・・・・(答)
お便り2006/4/24
from=wakky
解答その1 y=3x+kをx^2+y^2=25に代入して整理すると 10x^2+6kx+k^2-25=0・・・① 円x^2+y^2=25と直線y=3x+kが共有点をもつとは ①が実数解を持つこと ①判別式をDとすると D/4=9k^2-10(k^2-25)≧0 これを解いて -5√10≦k≦5√10・・・(答) 接すのはD/4=0のときだから k=±5√10・・・(答) 接点の座標は省略します。 解答その2 ポンさんがやったように、距離を利用します。 なお、円と直線の距離ではなくて 「円の中心」と直線の距離を利用します。 円x^2+y^2=25 は、原点中心、半径5の円なので 原点と直線y=3x+kの距離が5以下なら共有点を持ちます。 原点と直線y=3x+kの距離は |k|/√10なので |k|/√10≦5 、|k|≦5√10 すなわち -5√10≦k≦5√10 接するのは等号が成り立つときですね。