質問＜３１１６＞２００６／４／２３
from=サエ
「整式の割り算」

正式P(x)をx^2-3x+2で割ったときの余りはx+2、x^2-2x-3で割ったときの
余りは-2x+1である。
このとき、P(x)をx^2-5x+6で割ったときの余りを求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２４
from=wakky

整式P(x)をx^2-3x+2=(x-1)(x-2)で割ったときの余りはx+2だから
商をA(x)とすると
P(x)=(x-1)(x-2)A(x)+x+2・・・①
整式P(x)をx^2-2x-3=(x+1)(x-3)で割ったときの余りは-2x+1だから
商をB(x)とすると
P(x)=(x+1)(x-3)B(x)-2x+1・・・②
さて
P(x)をx^2-5x+6=(x-2)(x-3)で割った余りは
1次以下の整式であるから、そのときの商をC(x)とすると
P(x)=(x-2)(x-3)C(x)+ax+b・・・③とおける
①より
P(2)=4
②より
P(3)=-5
③より
P(2)=2a+b , P(3)=3a+b
よって
2a+b=4,3a+b=-5
これを解いて
a=-9,b=22
したがって求める余りは
-9x+22・・・（答）