質問＜３１２０＞２００６／４／２４
from=佐藤
「逆関数」

恐縮ですが、僕は数学が苦手です。
テキストを見ても分からないのでよろしければ教えてください。

関数y=x+√(2x+2)の逆関数とその定義域と値域を求めよ。
です

簡単かもしれませんが、宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２５
from=S（社会人）

（ 答案 ）
（１） ｙ＝ｘ＋√（２ｘ＋２）＝ｆ（ｘ）　の定義域は、
根号内の　２ｘ＋２≧０　から　－１≦ｘ

（２） 一方、　０＜ｈ　なる　ｈ　について
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ＋ｈ）
＝｛ｘ＋√（２ｘ＋２）｝－[（ｘ＋ｈ）＋√｛２（ｘ＋ｈ）＋２｝]
＝（－ｈ）＋｛√（２ｘ＋２）｝－[√｛２（ｘ＋ｈ）＋２｝]
＝（－ｈ）＋（－２ｈ）／[｛√（２ｘ＋２）｝＋√｛２（ｘ＋ｈ）＋２｝]
＜０
したがって、　ｆ（ｘ）　は単調増加関数である。
いま、　ｆ(－１)＝(－１)＋√｛２（－１）＋２｝＝－１　であるから、
値域は　－１≦ｙ

（３） さて、　－１≦ｘ　で　ｆ（ｘ）　は単調に増加するから、　
－１≦ｙ　なる任意の　ｙ　について　ｘ　が一意に対応して逆関数　ｇ（ｘ）　
が存在する。
よって、逆関数の記法から　ｙ＝ｆ（ｘ）　について　ｘ＝ｇ（ｙ）　となる。
しかして、　ｙ＝ｇ（ｙ）＋√｛２ｇ（ｙ）＋２｝
変形整理すると、　｛ｇ（ｙ）｝^2－２（ｙ＋１）ｇ（ｙ）＋（ｙ^2－２）＝０
ｇ（ｙ）　について解くと、　ｇ（ｙ）＝（ｙ＋１）±√（２ｙ＋３）

（４） ここで、　ｇ（ｙ）＝（ｙ＋１）＋√（２ｙ＋３）　…　［１］　については、
ｇ（ｙ）＝ｘ≧－１　かつ　ｙ≧－１　であったのであるが、例えば
ｇ（ｙ）＝０　のときをみると　０＝（ｙ＋１）＋√（２ｙ＋３）　から　ｙ＝±√２
を得ても、　ｙ＝√２　のときは　ｇ（ｙ）≠０、また　ｙ＝－√２＜－１　も不適切
である。
ゆえに、　［１］　は不適である。

（５） したがって先に、逆関数の存在が保証されているから　
－１≦ｇ（ｙ）＝（ｙ＋１）－√（２ｙ＋３）　と確定する。
ここで、　ｙ（≧－１）　を　ｘ　に書き替えて、求める逆関数は
ｙ＝ｇ（ｘ）＝（ｘ＋１）－√（２ｘ＋３）　
（ 定義域　－１≦ｘ、値域　－１≦ｙ ）　…　（ 答 ）