質問＜３１２６＞２００６／４／２７
from=とたん
「集合の証明について」

A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
この数式のベン図を使わない照明方法がわかりません。
図を使えば簡単に証明できるのですが…
どうかご教授お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２９
from=S（社会人）

（ 答案 ）

（１） いま、　ｘ∈｛A∩(B∪C)｝　であれば　（ｘ∈A)∧｛ｘ∈（B∪C)｝
したがって、　（ｘ∈A)∧｛（ｘ∈B)∨（ｘ∈C)｝
よって、　｛（ｘ∈A)∧（ｘ∈B)｝∨｛（ｘ∈A)∧（ｘ∈C)｝
しかして、　｛ｘ∈（A∩B)｝∨｛ｘ∈（A∩C)｝
ゆえに、　ｘ∈｛（A∩B)∨（A∩C)｝
したがって、　ｘ∈｛（A∩B)∪（A∩C)｝
よって、　｛A∩(B∪C)｝⊆｛(A∩B)∪(A∩C)｝

（２） また、　ｘ∈｛(A∩B)∪(A∩C)｝　であれば　｛ｘ∈(A∩B)｝∨｛ｘ∈(A∩C)｝
したがって、　｛（ｘ∈A)∧（ｘ∈B)｝∨｛（ｘ∈A)∧（ｘ∈C)｝
よって、　（ｘ∈A)∧｛（ｘ∈B）∨（ｘ∈C）｝
しかして、　（ｘ∈A)∧｛ｘ∈(B∪C)｝
ゆえに、　ｘ∈｛A∩(B∪C)｝
したがって、　｛(A∩B)∪(A∩C)｝⊆｛A∩(B∪C)｝

（３） 上　（１），（２）　から　A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)