質問<3126>2006/4/27
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) この数式のベン図を使わない照明方法がわかりません。 図を使えば簡単に証明できるのですが… どうかご教授お願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/4/29
from=S(社会人)
( 答案 ) (1) いま、 x∈{A∩(B∪C)} であれば (x∈A)∧{x∈(B∪C)} したがって、 (x∈A)∧{(x∈B)∨(x∈C)} よって、 {(x∈A)∧(x∈B)}∨{(x∈A)∧(x∈C)} しかして、 {x∈(A∩B)}∨{x∈(A∩C)} ゆえに、 x∈{(A∩B)∨(A∩C)} したがって、 x∈{(A∩B)∪(A∩C)} よって、 {A∩(B∪C)}⊆{(A∩B)∪(A∩C)} (2) また、 x∈{(A∩B)∪(A∩C)} であれば {x∈(A∩B)}∨{x∈(A∩C)} したがって、 {(x∈A)∧(x∈B)}∨{(x∈A)∧(x∈C)} よって、 (x∈A)∧{(x∈B)∨(x∈C)} しかして、 (x∈A)∧{x∈(B∪C)} ゆえに、 x∈{A∩(B∪C)} したがって、 {(A∩B)∪(A∩C)}⊆{A∩(B∪C)} (3) 上 (1),(2) から A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)