質問

ｙ＝sin＾-1ｘ/3
の解き方を教えて下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／１０
from=S（社会人）

こんにちは。

ｙ＝ｓｉｎ^(-1)（ｘ／３）　という　arc sine（ inverse sine ）　
の微分と読みますと…

（ 答案 ）

まず、逆正弦関数を取り扱うのであるから、主たるものとして、
いま定義域は　－３≦ｘ≦３、また値域は　－π／２≦ｙ≦π／２　
に限り考えることにする。


（１） 与式を変形すると、　ｓｉｎ（ｙ）＝ｘ／３
両辺を微分すると、
ｄ｛ｓｉｎ（ｙ）｝／ｄｘ＝ｄ（ｘ／３）／ｄｘ
[ｄ｛ｓｉｎ（ｙ）｝／ｄｙ]*（ｄｙ／ｄｘ）＝１／３
ｃｏｓ（ｙ）*（ｄｙ／ｄｘ）＝１／３
ｄｙ／ｄｘ＝（１／３）／｛ｃｏｓ（ｙ）｝　（ ｙ≠±π／２　のとき ）
＝（１／３）／√｛１－ｓｉｎ^2（ｙ）｝　（ ｃｏｓ（ｙ）＞０ ）
＝（１／３）／√｛１－（ｘ／３）^2｝　（ ｜ｘ｜＜３ ）
＝１／√（９－ｘ^2）　（ －３＜ｘ＜３ ）　…　（ 答－１／２ ）

（２） 一方、　ｘ＝±３（ ｙ＝±π／２ ）　のときは　（ 答－１ ）　について、
ｘ→±３　を考えればよいから
ｌｉｍ_[x→3-0,-3+0]１／√（９－ｘ^2）
＝ｌｉｍ_[h→0]１／√[９－｛±（３－ｈ）｝^2]
＝ｌｉｍ_[h→0]１／√｛９－（３－ｈ）^2｝
＝ｌｉｍ_[h→0]１／√｛ｈ（６－ｈ）｝
＝∞
したがって、　ｘ＝±３　においては極限値が存在しない。よって、微分可能ではない。
（ しかして、このとき微（分）係数は考えない。 ）　…　（ 答－２／２ ）