質問<3144>2006/5/4
x>1の時 log(1+1/x)>1/(1+x) となる事を証明せよ よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/5/7
from=S(社会人)
こんにちは。 ( 答案 ) いま、 f(x)=log{1+(1/x)}-{1/(1+x)} とおくと、 (1) f(1)=log(2)-(1/2) =log(√4/√e)>0 (2) 一方、 f’(x)=-1/{x(1+x)^2}<0 ( x>1 ) したがって、 f(x) は定義域で単調に減少する。 (3) また、 f(x)=log{1+(1/x)}-log[e^{1/(1+x)}] =log[{1+(1/x)}/{e^{1/(1+x)}}] →log(1/e^0) ( x→∞ ) =0 (4) よって、 1<x について f(x) は正領域にあって単調に減少するも、 その極限値が 0 であるから、区間 (1,∞) で f(x)>0 ゆえに、題意のとおりである。 として見ました。