質問＜３１５＞２０００／９／３
from=みかちん
「漸化式」

Ａ1＝３，Ａn+1＝２Ａn＋ｎ－１（ｎ＝１，２，・・・）
で定義される数列｛Ａn｝がある。

問：ｂn＝Ａn+1－Ａnとしたとき、ｂnの一般項はｂn＝？で
　　ある

お返事２０００／９／４
from=武田

漸化式
｛ａ1 ＝３
｛ａn+1＝２ａn ＋ｎ－１
ｎ＝１のとき、ａ2 ＝２ａ1 ＋１－１
　　　　　　　　　＝２・３＋１－１
　　　　　　　　　＝６
ｎ＝２のとき、ａ3 ＝２ａ2 ＋２－１
　　　　　　　　　＝２・６＋２－１
　　　　　　　　　＝１３
ｎ＝３のとき、ａ4 ＝２ａ3 ＋３－１
　　　　　　　　　＝２・１３＋３－１
　　　　　　　　　＝２８
ｎ＝４のとき、ａ5 ＝２ａ4 ＋４－１
　　　　　　　　　＝２・２８＋４－１
　　　　　　　　　＝５９
数列として並べて、
①　②　③　　④　　⑤　　……
３　６　１３　２８　５９　……
　Ｖ　Ｖ　　Ｖ　　Ｖ
　３　７　１５　３１　　　←第１階差
　　Ｖ　Ｖ　　Ｖ
　　４　８　１６　　　　　←第２階差
　　　Ｖ　Ｖ
　　　４　８　　　　　　　←第３階差
第３階差より、第２階差の数列が等比数列となることが分かる。
第２階差の一般項ｃn ＝４・２n-1
　　　　　　　　　　　　　n-1
第１階差の一般項ｂn ＝３＋Σ　ｃk 
　　　　　　　　　　　　　k=1

　　　　　　　　　　　　　n-1
　　　　　　　　　　＝３＋Σ　４・２k-1
　　　　　　　　　　　　　k=1

　　　　　　　　　　　　　　　　２n-1－１
　　　　　　　　　　＝３＋４・──────
　　　　　　　　　　　　　　　　　２－１


　　　　　　　　　　＝３＋４・２n-1 －４
　　　　　　　　　　＝４・２n-1 －１

　　　　　　　　　　　　　　n-1
問題の数列の一般項ａn ＝３＋Σ　ｂk 
　　　　　　　　　　　　　　k=1

　　　　　　　　　　　　　　n-1
　　　　　　　　　　　＝３＋Σ（４・２k-1－１）
　　　　　　　　　　　　　　k=1

　　　　　　　　　　　　　　　　　２n-1 －１
　　　　　　　　　　　＝３＋４・──────　－　（ｎ－１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　２－１


　　　　　　　　　　　＝３＋４・２n-1 －４－ｎ＋１
　　　　　　　　　　　＝４・２n-1 －ｎ
　　　　　　　　　　　＝２n+1 －ｎ　……（答）

お便り２０００／９／８
from=kyukusu

　　ａn+2＝２ａn+1＋（ｎ＋１）－１
－）ａn+1＝２ａn  ＋ｎ　　　　－１
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ａn+2－ａn+1＝２（ａn+1－ａn）＋１
∴ｂn+1＝２ｂn＋１
（ｂ1＝ａ2－ａ1＝６－３＝３）
ｂn+1＋１＝２（ｂn＋１）
∴ｂn＝２＾n-1（３＋１）－１
という風にしてもできますよね。
第２、第３階差が嫌いなもので。