質問<315>2000/9/3
A1=3,An+1=2An+n-1(n=1,2,・・・) で定義される数列{An}がある。 問:bn=An+1-Anとしたとき、bnの一般項はbn=?で ある
お返事2000/9/4
from=武田
漸化式 {a1 =3 {an+1=2an +n-1 n=1のとき、a2 =2a1 +1-1 =2・3+1-1 =6 n=2のとき、a3 =2a2 +2-1 =2・6+2-1 =13 n=3のとき、a4 =2a3 +3-1 =2・13+3-1 =28 n=4のとき、a5 =2a4 +4-1 =2・28+4-1 =59 数列として並べて、 ① ② ③ ④ ⑤ …… 3 6 13 28 59 …… V V V V 3 7 15 31 ←第1階差 V V V 4 8 16 ←第2階差 V V 4 8 ←第3階差 第3階差より、第2階差の数列が等比数列となることが分かる。 第2階差の一般項cn =4・2n-1 n-1 第1階差の一般項bn =3+Σ ck k=1 n-1 =3+Σ 4・2k-1 k=1 2n-1-1 =3+4・────── 2-1 =3+4・2n-1 -4 =4・2n-1 -1 n-1 問題の数列の一般項an =3+Σ bk k=1 n-1 =3+Σ(4・2k-1-1) k=1 2n-1 -1 =3+4・────── - (n-1) 2-1 =3+4・2n-1 -4-n+1 =4・2n-1 -n =2n+1 -n ……(答)
お便り2000/9/8
from=kyukusu
an+2=2an+1+(n+1)-1 -)an+1=2an +n -1 ------------------ an+2-an+1=2(an+1-an)+1 ∴bn+1=2bn+1 (b1=a2-a1=6-3=3) bn+1+1=2(bn+1) ∴bn=2^n-1(3+1)-1 という風にしてもできますよね。 第2、第3階差が嫌いなもので。