質問<3152>2006/5/8
mの値が変化するとき、次の2直線の交点Pを求めよ。 mx-y+5m=0, x+my-5=0 どうかお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/5/14
from=S(社会人)
( 答案 ) mx-y+5m=0 … [1]、x+my-5=0 … 「2」 の交点の座標を P(X,Y) とすると、 mX-Y+5m=0 … [3]、X+mY-5=0 … 「4」 (1) [4] から m=(-X+5)/Y ( Y≠0 のとき ) [3] に代入して整理すると、 X^2+Y^2=5^2 … [5] (2) Y=0 のとき mX+5m=0 かつ x-5=0 これは m=0 で保証され、 Y=0 のとき、 すなわち 点(5,0) は [5] に含まれる。 (3) 一方、 [1] は y 軸を表さない。また、 [2] は x 軸を表さない。 したがって、 [5]から点Pは4点(5,0),(0,5),(-5,0),(0,-5) を除く、 円: x^2+y^2=5^2 … [6] 上に在ることが必要である。 (4) 逆に、 「 (3) にいう 円[6] 上に在る或る点 Q(X’,Y’) が 2 直線の交点ではない 」 と仮定してその対偶をとると、 「 2 直線の交点で あれば、任意の点 Q(X’,Y’) は (3) にいう 円[6] 上にはない 」 となり、これは矛盾である。 ゆえに、 (3) にいう 円[6] 上の任意の点はすべて 2 直線の交点である。 (5) 上 (1)~(4) から (3) にいう 4 点を除いた 円[6] が求める軌跡である。