質問＜３１５２＞２００６／５／８
from=チョンボ
「軌跡」

mの値が変化するとき、次の２直線の交点Pを求めよ。
mx-y+5m=0, x+my-5=0
どうかお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／１４
from=S（社会人）

（ 答案 ）
ｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０　…　［１］、ｘ＋ｍｙ－５＝０　…　「２」
の交点の座標を　Ｐ（Ｘ，Ｙ）　とすると、
ｍＸ－Ｙ＋５ｍ＝０　…　［３］、Ｘ＋ｍＹ－５＝０　…　「４」

（１） ［４］　から　ｍ＝（－Ｘ＋５）／Ｙ　（ Ｙ≠０　のとき ）
［３］　に代入して整理すると、　Ｘ^2＋Ｙ^2＝５^2　…　［５］

（２） Ｙ＝０　のとき　ｍＸ＋５ｍ＝０　かつ　ｘ－５＝０
これは　ｍ＝０　で保証され、　Ｙ＝０　のとき、
すなわち　点（５，０）　は　［５］　に含まれる。

（３） 一方、　［１］　は　ｙ　軸を表さない。また、　［２］　は　ｘ　軸を表さない。
したがって、　
［５］から点Ｐは４点（５，０），（０，５），（－５，０），（０，－５）　を除く、
円：　ｘ^2＋ｙ^2＝５^2　…　［６］
上に在ることが必要である。

（４） 逆に、　「 （３）　にいう　円［６］　上に在る或る点　　Ｑ（Ｘ’，Ｙ’）　
が　２　直線の交点ではない 」　と仮定してその対偶をとると、　「 ２　直線の交点で
あれば、任意の点　Ｑ（Ｘ’，Ｙ’）　は　（３）　にいう　円［６］　上にはない 」
となり、これは矛盾である。
ゆえに、　（３）　にいう　円［６］　上の任意の点はすべて　２　直線の交点である。

（５） 上　（１）～（４）　から　（３）　にいう　４　点を除いた　円［６］　
が求める軌跡である。