質問<316>2000/9/4
武田先生、失礼します。 高校の数学を忘れてしまっていて、因数分解の初歩的な質問で恐縮なの ですが、例えば、(X-3)(Xの2乗+X+3)が、もうこれ以上、因数分解で きないというのは、どのようにして判断するのでしょうか? 単に、因数分解の公式である以下のパターンで解けなければ、 ふつうは因数分解できないと考えてしまうとかですか? a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 a2-b2=(a+b)(a-b) X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b) acX2+(ad+bc)X+bd=(aX+b)(cX+d) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 「a2」「X2」「a3」は、aの2乗、Xの2乗、aの3乗として書いています。 見にくくなってしまい、すみません。
お返事2000/9/5
from=武田
因数分解は、n次式の時は最高n個の1次式の積となるわけだが、 因数定理や組立除法や因数分解の公式などを使って、計算していく。 特に因数定理が大いに役立つ。 例えば、x3 -2x2 -9という3次式のとき、 定数項(-9)の絶対値9の素因数分解9=32 より、 30 =1、31 =3、32 =9の 正負も考えた6個の数を取ってきて、 f(x)=x3 -2x2 -9に、 代入する。 f(1)=1-2-9=-10≠0 f(-1)=-1-2-9=-12≠0 と言う具合に0となるまで計算していく。 f(3)=27-18-9=0より、(x-3)が因数であることが分かる。 f(-3)=-27-18-9=-54≠0 f(9)=729-162-9=558≠0 f(-9)=-729-162-9=-900≠0 他には見つからないから、これ以上因数分解できないだろうと何となく決める。 組立除法より、 ^^^^^^^ 1 -2 0 -9 |3 3 3 9  ̄ ̄ ───────────── 1 1 3| 0 x2 +x+3 この2次式x2 +x+3は判別式D=b2 -4ac を使えば、実数解があるかどうか分かる。 D=1-4・1・3=-11<0 マイナスより、実数解はない。 (虚数解ならあるが、ここではふれない。虚数解を許すならば、クンマーの因数 分解が使える。これは、n次式はn個の1次式の積で表せる。質問<1>の野崎 先生のお便り参照) したがって、この2次式は因数分解できないので、 問題の3次式は x3 -2x2 -9 =(x-3)(x2 +x+3) となる。
お便り2000/10/6
from=文系学生
「組立除法と単なる割り算」
武田先生、失礼します。 質問<316>に頂いた回答についての質問なのですが、 回答では組立除法を使っておられますが、ここを単なる割り算で解いて しまってはいけないのですか? 具体的にいいますと、x3 -2x2 -9を因数分解する 方法として、まず因数定理でx-3で割り切れることを見つけて、 それから組立除法を使わずに単なる割り算を使って、 x2 +x+3 _________ x-3|x3 -2x2 -9 x3 -3x2 _____ x2 x2 -3x _____ 3x-9 3x-9 ____ 0 とやって、それから、 この解答x2 +x+3を判別式にかけて、これ以上因数分解できない ことを確認して、 x3 -2x2 -9=(x2 +x+3)(x-3) としては何か不都合があるのですか? 組立除法と、単なる割り算の違いは何なのでしょうか?
お返事2000/10/6
from=武田
「組立除法」と、単なる「わり算」は、同じです。 イギリスのホーナーという数学者が発明したのが、この「組立除法」 という簡便法です。あくまでも簡便法ですから、好きだったら使って ください。当然、単なる「わり算」でやって正解です。