質問＜３１６７＞２００６／５／１３
from=Akkunn
「ベクトルの内積」

△ABCにおいて、→CA・→AB＝a,→AB・→BC＝b,→BC・→CA＝cとする。
(a-b)(b-c)(c-a)=0のとき、△ABCはどのような三角形か答えよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／１６
from=wakky

まず、△ABCにおいて
→　→　→　→
AB＋BC＋CA＝０
よって
→ 　→  →  →          →
CA・(AB＋BC＋CA)＝a＋c＋|CA|^2＝０・・・①
同様にして
       →
b＋a＋|AB|^2＝０・・・②
       →
b＋c＋|BC|^2＝０・・・③
①－③より
       →      →
a－b＝|BC|^2－|CA|^2
②－①より
       →      →
b－c＝|CA|^2－|AB|^2
③－②より
       →      →
c－a＝|AB|^2－|BC|^2
(a-b)(b-c)(c-a)＝０だから
a＝bまたはb＝cまたはc＝a
以上のことから
AB＝BCまたはBC＝CAまたはCA＝AB
特に
a＝b＝cのとき
AB＝BC＝CA
したがって
△ABCは
二等辺三角形または正三角形である。