質問＜３１７５＞２００６／５／１７
from=なおひ
「大学受験問題（数列・確率）」

初めのつぼの中に赤球が１個、白球が２個入っている。
「この中から球を１個取り出し、色を確かめて元に戻す。これを３回行った後、つぼを
空にして、赤球の出た回数と同数の赤球と、白球の出た回数と同数の白球をつぼに入れ
直す。」
という操作を繰り返す。今、ｎ回操作した後につぼの中の赤球が１個、２個入っている
確率をそれぞれＰｎ、ｑｎ（n=1,2,3,…）とするとき、次の問いに答えよ。

（１）Ｐn+1,ｑn+1をそれぞれＰn,ｑnを用いて表せ。
（２）Ｐn+ｑnをnを用いて表せ。
（３）Ｐnとｑnをそれぞれｎを用いて表せ。

が解りません。２１日（日）までのどなたか教えてください。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／１９
from=ZELDA

(1)C(n,r)は　「combination  n の　r」を表すものとする。　 

まずは P(n)を求める。

Case1  n回の操作の後に赤球が1個つぼに入っている場合
その確率は、C(3,1)*(2/3)^2*(1/3)*P(n)=(4/9)P(n)

Case2  n回の操作の後に赤球が2個つぼに入っている場合
その確率は、C(3,1)*(2/3)*(1/3)^2*Q(n)=(2/9)Q(n)

したがって、P(n+1)=(4/9)P(n)+(2/9)Q(n)・・・(A)


次に、Q(n)を求める。

Case1  n回の操作の後に赤球が1個つぼに入っている場合
その確率は、(2/9)P(n)

Case2  n回の操作の後に赤球が2個つぼに入っている場合
その確率は、(4/9)Q(n)

したがって、Q(n+1)=(2/9)P(n)+(4/9)Q(n)・・・(B)

(2) (A)+(B)より
P(n+1)+Q(n+1)=(2/3){P(n)+Q(n)}　∧　P(1)+Q(1)=1
であるから
P(n)+Q(n)=(2/3)^(n-1)・・・(C)

(3) (A)-(B)より
P(n+1)-Q(n+1)=(2/9){P(n)-Q(n)} ∧　P(1)-Q(1)=1
であるから
P(n)-Q(n)=(2/9)^(n-1)・・・(D)

(C),(D)より
P(n)=(1/2){(2/9)^(n-1)}[{3^(n-1)}+1]
Q(n)=(1/2){(2/9)^(n-1)}[{3^(n-1)}-1]