質問＜３１７８＞２００６／５／１７
from=広
「有理数と無理数」

有理数を係数に持つ多項式全体の集合をＱ[X]とおく。即ち
Ｑ［X］＝｛AnX＾(n)+An-1x＾(n-1)＋・・・＋A1X+A0|An,An-1,・・・,a0∈Q,n=0,1,2,・・・｝
である。このときＱ[X]～Ｎを示せ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／２２
from=angel

N→Q[x] の単射は、例えば f(n)=x^n 等がすぐに見つかりますから、
Q[x]→N の単射を作り上げれば、双方の単射の存在により、N～Q[x]が示せます。

以下、単射の作成

　1． 有理数の符号化
　　有理数 q に対し、既約分数 q＝a／b （q＞0の場合） もしくは q＝－a／b（q＜0の場合）を
　　対応させる。なお、q＝0 の場合は、a＝0， b＝1 とする。
　　a，bをそれぞれ8進数で表し、q≧0 の場合は8を、q＜0の場合は9を挟んで連結する。
　　例：－0．375＝－3／8 … 3910　　1．08333…＝13／12 … 15814

　2． 多項式の符号化
　　n次有理係数多項式に対し、
　　　・n＋1 の8進数表示
　　　・各係数（有理数）の符号化表現
　　を、8を挟んで連結する。各係数は高次の方を先にする。

　　例：x＾3＋1／6・x－11／12
　　　　次数は 3、＋1して8進数表示すると 4 になる
　　　　各係数の符号化表現
　　　　　x＾3： 1 … 181
　　　　　x＾2： 0 … 081
　　　　　x＾1： 1／6 … 186
　　　　　x＾0： －11／12 … 13914
　　　　全体 … 4818180818186813914

　ここで、多項式 f（x） に対し、それを符号化した表現を10進数と解釈した時の数値を
　対応させる関数は、Q［x］→N への単射となる。