質問<3178>2006/5/17
有理数を係数に持つ多項式全体の集合をQ[X]とおく。即ち Q[X]={AnX^(n)+An-1x^(n-1)+・・・+A1X+A0|An,An-1,・・・,a0∈Q,n=0,1,2,・・・} である。このときQ[X]~Nを示せ。 ★希望★完全解答★
お便り2006/5/22
from=angel
N→Q[x] の単射は、例えば f(n)=x^n 等がすぐに見つかりますから、 Q[x]→N の単射を作り上げれば、双方の単射の存在により、N~Q[x]が示せます。 以下、単射の作成 1. 有理数の符号化 有理数 q に対し、既約分数 q=a/b (q>0の場合) もしくは q=-a/b(q<0の場合)を 対応させる。なお、q=0 の場合は、a=0, b=1 とする。 a,bをそれぞれ8進数で表し、q≧0 の場合は8を、q<0の場合は9を挟んで連結する。 例:-0.375=-3/8 … 3910 1.08333…=13/12 … 15814 2. 多項式の符号化 n次有理係数多項式に対し、 ・n+1 の8進数表示 ・各係数(有理数)の符号化表現 を、8を挟んで連結する。各係数は高次の方を先にする。 例:x^3+1/6・x-11/12 次数は 3、+1して8進数表示すると 4 になる 各係数の符号化表現 x^3: 1 … 181 x^2: 0 … 081 x^1: 1/6 … 186 x^0: -11/12 … 13914 全体 … 4818180818186813914 ここで、多項式 f(x) に対し、それを符号化した表現を10進数と解釈した時の数値を 対応させる関数は、Q[x]→N への単射となる。