質問<3193>2006/5/21
[1]lim xlogx x→+0 [2]lim x^(1/x) x→∞ [3]lim (3x-sinx)/x x→∞ ★希望★完全解答★
お便り2006/5/28
from=S(社会人)
こんにちは。 ( 答案 ) (1) lim[x→+0]xlog(x) =lim[x→+0]{log(x)}/(1/x) =lim[x→+0](1/x)/(-1/x^2) ( l'Hospital の定理 ) =lim[x→+0]1/(-1/x) =0 ……(答) (2) いま、 x^(1/x)=t とおくと 1<x であるから 1<t は既知として 対数を考えると、 0<log(t)=(1/x)log(x) ここで、 x→∞ のとき l'Hospital の定理から 最右辺=1/x ( x→∞ ) →0 ( x→∞ ) したがって、 log(t)→0 ( x→∞ ) は t→1 ( x→∞ ) で、 x^(1/x)→1 ( x→∞ ) … ( 答 ) となりました。 (3) lim_[x→∞](1/x){3x-sin(x)} =lim_[x→∞]{3-(1/x)sin(x)} … [1] このとき、 -1≦sin(x)≦1 から -1/x≦(1/x)sin(x)≦1/x ( 0<x ) x→∞ で挟み撃ちの原理から (1/x)sin(x)→0 したがって、 [1]=3+0=3 … ( 答 ) のようになりました。