質問＜３１９３＞２００６／５／２１
from=kazu
「極限」

[1]lim xlogx
   x→＋０
[2]lim x^(1/x)
   x→∞
[3]lim (3x－sinx)/x
   x→∞

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／２８
from=S（社会人）

こんにちは。
（ 答案 ）

（１）
ｌｉｍ[x→+0]ｘｌｏｇ（ｘ）
＝ｌｉｍ[x→+0]｛ｌｏｇ（ｘ）｝／（１／ｘ）
＝ｌｉｍ[x→+0]（１／ｘ）／（－１／ｘ^2）　（ l'Hospital　の定理 ）
＝ｌｉｍ[x→+0]１／（－１／ｘ）
＝０　……（答）

（２）
いま、　ｘ^(1/x)＝ｔ　とおくと　１＜ｘ　であるから　１＜ｔ　は既知として
対数を考えると、
０＜ｌｏｇ（ｔ）＝（１／ｘ）ｌｏｇ（ｘ）
ここで、　ｘ→∞　のとき　l'Hospital　の定理から
最右辺＝１／ｘ　（ ｘ→∞ ）
→０　（ ｘ→∞ ）
したがって、
ｌｏｇ（ｔ）→０　（ ｘ→∞ ）　は　ｔ→１　（ ｘ→∞ ）　で、
ｘ^(1/x)→１　（ ｘ→∞ ）　…　（ 答 ）

となりました。

（３）
ｌｉｍ_[x→∞]（１／ｘ）｛３ｘ－ｓｉｎ（ｘ）｝
＝ｌｉｍ_[x→∞]｛３－（１／ｘ）ｓｉｎ（ｘ）｝　…　［１］
このとき、
－１≦ｓｉｎ（ｘ）≦１　から
－１／ｘ≦（１／ｘ）ｓｉｎ（ｘ）≦１／ｘ　（ ０＜ｘ ）
ｘ→∞　で挟み撃ちの原理から　（１／ｘ）ｓｉｎ（ｘ）→０
したがって、
［１］＝３＋０＝３　…　（ 答 ）

のようになりました。