質問＜３１９９＞２００６／５／２３
from=涼夏
「三角形の内心、傍心の座標」

（問）三角形ABCの頂点の座標をそれぞれA(a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2)のとき、
辺の長さをそれぞれBC=a,CA=b,AB=cとして、三角形ABCの内心の座標を求めよ。
と言う問題です。あと、これと全く同じ問題で傍心を求める問題もあるのですが、
教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００６／６／７
from=ZELDA

ベクトルABを→ABと書くことにする。

まず内心を求める。
∠Aの２等分線と直線BCの交点をD、内心をIとする。
角の２等分線定理より
BD:CD=c:b, BD=ac/(b+c)
AI:ID=b+c:a

ゆえに、→AI=→AD(b+c)/(a+b+c)
=(b→AB+c→AC)(b+c)/(a+b+c)=b→AB+c→AC/(a+b+c)

以上より
→OI=→OA+→AI=→a+{b(→b-→a)+c(→c-→a)}/(a+b+c)
=(a→a+b→b+c→c)/(a+b+c)
={a(a1,a2)+b(b1,b2)+c(c1,c2)}/(a+b+c)
={(aa1+bb1+cc1)/(a+b+c),(aa2+bb2+cc2)/(a+b+c)}
これが、求める内心の座標である。

次に、傍心を求める。ただし、３つの傍心のうちで、直線BCに関して、
Aと反対側にある傍心を求めることにする。
この点をHとする。Hは∠Aの２等分線上にあるから、

→AH=t→AI=(bt→AB+ct→AC)/(a+b+c)・・・(い）

→AH=→AC+s→CH
=→AC+(as→AC+bs→CB)/(a+b)
={(a+b)→AC+as→AC+bs→AB-bs→AC}/(a+b)
={bs→AB+(as-bs+a+b)→AC}/(a+b)・・・・・(ろ)

→ABと→ACは線形独立であるから、(い)、(ろ)を係数比較して、s,tを定めると
t=(a+b+c)/(b+c-a)

ゆえに、
→AH=(a+b+c)→AI/(b+c-a)
=(b→AB+c→AC)/(b+c-a)

→OH=→OA+→AH
=→a+{b(→b-→a)+c(→c-→a)}/(b+c-a)
=(-a→a+b→b+c→c)/(b+c-a)
={-a(a1,a2)+b(b1,b2)+c(c1,c2)}/(b+c-a)
={(-aa1+bb1+cc1)/(b+c-a),(-aa2+bb2+cc2)/(b+c-a)}
これが、求める傍心の座標である。