質問<3199>2006/5/23
(問)三角形ABCの頂点の座標をそれぞれA(a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2)のとき、 辺の長さをそれぞれBC=a,CA=b,AB=cとして、三角形ABCの内心の座標を求めよ。 と言う問題です。あと、これと全く同じ問題で傍心を求める問題もあるのですが、 教えてください。 ★希望★完全解答★
お便り2006/6/7
from=ZELDA
ベクトルABを→ABと書くことにする。 まず内心を求める。 ∠Aの2等分線と直線BCの交点をD、内心をIとする。 角の2等分線定理より BD:CD=c:b, BD=ac/(b+c) AI:ID=b+c:a ゆえに、→AI=→AD(b+c)/(a+b+c) =(b→AB+c→AC)(b+c)/(a+b+c)=b→AB+c→AC/(a+b+c) 以上より →OI=→OA+→AI=→a+{b(→b-→a)+c(→c-→a)}/(a+b+c) =(a→a+b→b+c→c)/(a+b+c) ={a(a1,a2)+b(b1,b2)+c(c1,c2)}/(a+b+c) ={(aa1+bb1+cc1)/(a+b+c),(aa2+bb2+cc2)/(a+b+c)} これが、求める内心の座標である。 次に、傍心を求める。ただし、3つの傍心のうちで、直線BCに関して、 Aと反対側にある傍心を求めることにする。 この点をHとする。Hは∠Aの2等分線上にあるから、 →AH=t→AI=(bt→AB+ct→AC)/(a+b+c)・・・(い) →AH=→AC+s→CH =→AC+(as→AC+bs→CB)/(a+b) ={(a+b)→AC+as→AC+bs→AB-bs→AC}/(a+b) ={bs→AB+(as-bs+a+b)→AC}/(a+b)・・・・・(ろ) →ABと→ACは線形独立であるから、(い)、(ろ)を係数比較して、s,tを定めると t=(a+b+c)/(b+c-a) ゆえに、 →AH=(a+b+c)→AI/(b+c-a) =(b→AB+c→AC)/(b+c-a) →OH=→OA+→AH =→a+{b(→b-→a)+c(→c-→a)}/(b+c-a) =(-a→a+b→b+c→c)/(b+c-a) ={-a(a1,a2)+b(b1,b2)+c(c1,c2)}/(b+c-a) ={(-aa1+bb1+cc1)/(b+c-a),(-aa2+bb2+cc2)/(b+c-a)} これが、求める傍心の座標である。