質問<3203>2006/5/24
Z=f(x、y)=x^2-3(x+1)y^+3y^4 の極値を求めよ。 教えて下さい。 ★希望★完全解答★
お便り2006/5/28
from=wakky
Z=f(x、y)=x^2-3(x+1)y^+3y^4 ^^^^ この部分はyの何乗? Z_x=Z_y=0を満たす(x,y)=(a,b)に対して f(a,b)が極値の候補 (x,y)=(a,b)に対して Z_xx>0かつZ_xxZ_yy-(Z_xy)^2>0なら f(a,b)は極小 Z_xx<0かつZ_xxZ_yy-(Z_xy)^2>0なら f(a,b)は極大 Z_xxZ_yy-(Z_xy)^2<0なら f(a,b)は極値ではない Z_xxZ_yy-(Z_xy)^2=0なら これだけでは判定できない
お便り2006/6/5
from=ひさえ
wakky様 質問3203において大変失礼ながら一部問題を間違えて しまいました。 抜けている部分はy^2です。 よろしく御願い致します。
お便り2006/6/7
from=wakky
時間もなく、完全解答に至らないことをお許しください。 2変数関数の極値の問題は 私は、偏導関数を利用した方法しか知りません。 したがいまして 私が書きました方法が、私の知るすべてです。 陰関数の場合は、またちょっと違うようですけどね。 わたしも、この年になって、数学再開してますので なかなか、しっくり行かないのです(汗 ご勘弁を・・・ まず、ご自分で試してみてください。
お便り2006/9/26
from=ひさえ
回答がよくわかりません。 詳しく教えて下さい。
お便り2006/9/28
from=wakky
z=f(x,y)=x^2-3(x+1)y^2+3y^4 z_x=2x-3y^2,z_y=-6(x+1)y+12y^3 2x-3y^2=0,-6(x+1)y+12y^3=0を解くと (x,y)=(0,0),(3,±√2) z_xx=2>0,z_xy=-6y,z_yy=36y^2-6(x+1) H(x,y)=z_xx・z_yy-(z_xy)^2 =36y^2-12x-12 とおくと H(0,0)=-12<0,H(3,±√2)=24>0 よってzは(x,y)=H(3,±√2)で極小となり 極小値は f(3,±√2)=-3 計算誤りがあったらすみません。
お便り2006/10/1
from=主夫
wakkyさんの解答の通り,偏導関数を利用した方法でテキストに ほぼ同一の問題があります。これを真似して解くだけです。 (文中に出てくる文字は,テキストで確認してください) z=f(x,y)=x^2-3(x+1)y^2+3y^4 の極値 fx(x,y)=2x^2-3y^2=0 と fy(x,y)=-6(x+1)y+12y^3 を解くと (x,y)=(0,0),(3,±√2) また A=fxx(x,y)=2 B=fxy(x,y)=-6y C=fyy(x,y)=36y^2-6(x+1) であるから ①(x,y)=(0,0)のとき Δ =B^2-AC ={fxy(0,0)}^2-fxx(0,0)*fyy(0,0) =12>0 より,(0,0)はf(x,y)の極値を与えない。 ②(x,y)=(3,±√2)のとき 以下同様にΔの符号(この場合Aの符号も併せて)から判別してください。