質問＜３２０３＞２００６／５／２４
from=ひさえ
「極値」

Ｚ＝ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾２－３（ｘ＋１）ｙ＾＋３ｙ＾４
の極値を求めよ。
教えて下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／２８
from=wakky

Ｚ＝ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾２－３（ｘ＋１）ｙ＾＋３ｙ＾４
                                     ^^^^
この部分はｙの何乗？

Ｚ_x＝Ｚ_y＝０を満たす（ｘ，ｙ）＝（ａ，ｂ）に対して
ｆ（ａ，ｂ）が極値の候補
（ｘ，ｙ）＝（ａ，ｂ）に対して
Ｚ_xx＞０かつＺ_xxＺ_yy－（Ｚ_xy）^2＞０なら
ｆ（ａ，ｂ）は極小
Ｚ_xx＜０かつＺ_xxＺ_yy－（Ｚ_xy）^2＞０なら
ｆ（ａ，ｂ）は極大
Ｚ_xxＺ_yy－（Ｚ_xy）^2＜０なら
ｆ（ａ，ｂ）は極値ではない
Ｚ_xxＺ_yy－（Ｚ_xy）^2＝０なら
これだけでは判定できない

お便り２００６／６／５
from=ひさえ

wakky様
質問３２０３において大変失礼ながら一部問題を間違えて
しまいました。
抜けている部分はｙ＾２です。
よろしく御願い致します。

お便り２００６／６／７
from=wakky

時間もなく、完全解答に至らないことをお許しください。
２変数関数の極値の問題は
私は、偏導関数を利用した方法しか知りません。
したがいまして
私が書きました方法が、私の知るすべてです。
陰関数の場合は、またちょっと違うようですけどね。
わたしも、この年になって、数学再開してますので
なかなか、しっくり行かないのです（汗
ご勘弁を・・・
まず、ご自分で試してみてください。

お便り２００６／９／２６
from=ひさえ

回答がよくわかりません。
詳しく教えて下さい。

お便り２００６／９／２８
from=wakky

z=f(x,y)=x^2-3(x+1)y^2+3y^4
z_x=2x-3y^2,z_y=-6(x+1)y+12y^3
2x-3y^2=0,-6(x+1)y+12y^3=0を解くと
(x,y)=(0,0),(3,±√2)
z_xx=2＞0,z_xy=-6y,z_yy=36y^2-6(x+1)
H(x,y)=z_xx・z_yy-(z_xy)^2
      =36y^2-12x-12　とおくと
H(0,0)=-12＜0,H(3,±√2)=24＞0
よってzは(x,y)=H(3,±√2)で極小となり
極小値は
f(3,±√2)=-3
計算誤りがあったらすみません。

お便り２００６／１０／１
from=主夫

wakkyさんの解答の通り，偏導関数を利用した方法でテキストに
ほぼ同一の問題があります。これを真似して解くだけです。
(文中に出てくる文字は，テキストで確認してください）

z=f(x,y)=x^2-3(x+1)y^2+3y^4 の極値

fx(x,y)=2x^2-3y^2=0　と　fy(x,y)=-6(x+1)y+12y^3　を解くと
(x,y)=(0,0),(3,±√2)
また
A=fxx(x,y)=2  B=fxy(x,y)=-6y  C=fyy(x,y)=36y^2-6(x+1)
であるから

①(x,y)=(0,0)のとき
Δ
=B^2-AC
={fxy(0,0)}^2-fxx(0,0)*fyy(0,0)
=12＞0
より，(0,0)はf(x,y)の極値を与えない。

②(x,y)=(3,±√2)のとき
以下同様にΔの符号（この場合Aの符号も併せて）から判別してください。