質問＜３２０９＞２００６／５／２７
from=チョー屋さん
「帰納法」

2以上の自然数のついて、
1/1＾2 +1/2＾2 +1/3＾2 +・・・・1/n＾2＜2-1/n
 を証明せよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／５／２８
from=S（社会人）

こんにちは。

（ 答案 ）
いま、
Ｐ（ｎ）＝１／１^2 ＋ １／２^2 ＋ … ＋ １／ｎ^2
Ｑ（ｎ）＝２ － １／ｎ
とおくと、

（１） Ｐ（２）＝５／４＜６／４＝Ｑ（２）

（２） このとき、　ｎ＝ｋ≧２　について　Ｐ（ｋ）＜Ｑ（ｋ）　が成り立つと
仮定すると、
Ｐ（ｋ＋１）＝Ｐ（ｋ） ＋ １／（ｋ＋１）^2
＜Ｑ（ｋ） ＋ １／（ｋ＋１）^2
＝２ － １／ｋ ＋ １／（ｋ＋１）^2　…　［１］

（３） ここで、
｛－１／ｋ ＋ １／（ｋ＋１）^2｝ － ｛－１／（ｋ＋１）｝
＝－１／｛ｋ（ｋ＋１）^2｝
＜０

（４） したがって、
［１］＜２ － １／（ｋ＋１）＝Ｑ（ｋ＋１）
よって、　ｎ＝ｋ＋１　のときも　Ｐ（ｋ＋１）＜Ｑ（ｋ＋１）　が成り立つ。
ゆえに、数学的帰納法により　２≦ｎ　なるすべての自然数について、題意の通りである。

として見ました。

お便り２００６／５／２８
from=S（社会人）

別解です。

（ 答案 ）
（１） いま、　ｙ＝１／ｘ^2　のグラフを考えると同時に、　ｘ　軸に接して
上方に幅　１　の棒グラフを描き、まず原点の隅に一辺が　１　の正方形、次に
その右に高さが　１／２^2　の棒グラフ、その右に高さが　１／３^2　の棒グラフ、
…、最後に高さが　１／ｎ^2　の棒グラフを第　１　象限内に考える。

（２） ここで、面積を比較すると
すべでの棒グラフの面積の和＜正方形 ＋ その右方向　ｎ　までの　ｙ　と　ｘ　軸
に挟まれた部分の面積
これを式で表すと、
1/1＾2 +1/2＾2 +1/3＾2 +・・・・1/n＾2＜１＋∫_[1,n]１／ｘ^2ｄｘ
右辺＝１＋[－１／ｘ]_[1,n]
＝２ － １／ｎ

のようにもなるようです。