質問＜３２３７＞2006/6/11
from=シマ
「積分の問題で。。。；」

sin^(-1）ｘの積分なのですが、どうすればよいのでしょうか。
表現がイマイチわからないのですが、アークサインｘという意味です。
よろしくお願いします！

★完全解答希望★

お便り２００６／６／１１
from=S（社会人）

こんにちは。

（ 答案 ）
（１） まず、　ｓｉｎ^(-1)（ｘ）＝ｔ　とおいて変形して微分すると、
ｘ＝ｓｉｎ（ｔ）
ｄｘ／ｄｘ＝ｄｓｉｎ（ｔ）／ｄｘ
１＝ｄｓｉｎ（ｔ）／ｄｔ*ｄｔ／ｄｘ
１＝ｃｏｓ（ｔ）*ｄｔ／ｄｘ　…　［１］
ここで、逆正弦関数を取り扱うのであるから、周期関数の主たる値域として、
　－π／２≦ｔ≦π／２　をとることにすると、
　ｃｏｓ（ｔ）≧０、１－ｘ^2＝ｃｏｓ^2（ｔ）
したがって、　［１］　は　
１＝√（１－ｘ^2）*ｄｔ／ｄｘ
１／√（１－ｘ^2）＝ｄｔ／ｄｘ　（ ｘ≠±１　のとき ）
よって、　｛ｓｉｎ^(-1)（ｘ）｝′＝１／√（１－ｘ^2）

（２） しかして、
∫ｓｉｎ^(-1)（ｘ）ｄｘ＝ｘｓｉｎ^(-1)（ｘ）－∫ｘ｛ｓｉｎ^(-1)（ｘ）｝′ｄｘ
＝ｘｓｉｎ^(-1)（ｘ）－∫ｘ／√（１－ｘ^2）ｄｘ
＝ｘｓｉｎ^(-1)（ｘ）＋√（１－ｘ^2）＋Ｃ　（ Ｃ　は積分定数 ）　…　（ 答 ）

（３） ｓｉｎ^(-1)（ｘ）　について　ｘ＝±１　のときは、　ｃｏｓ（ｔ）＝０
　すなわち　√（１－ｘ^2）＝０　で、
∫ｓｉｎ^(-1)（±１）ｄｘ＝∫（±π／２）ｄｘ
＝±（π／２）ｘ＋Ｃ′　（ Ｃ′　は積分定数 ）
であるから、この不定積分は　（２）　の　（ 答 ）　に含まれている。

のようになりました。

お便り２００６／６／１２
from=S（社会人）

先に、投稿いたしました　（ 答案 ）　ですが…

（３） については、余り自信がありません。
この言及について（ 逆正弦関数の定義域の　ｘ＝±１　の部分の処理について ）
の可否など、皆さんの御批判の　comment　が頂けたら幸甚に存じます。

お便り２００６／６／１２
from=S（社会人）

さきほど、　（３）　のことで皆さんにお伺いを立てましたが、
この吟味は不要のことと判りました。

いま　数Ⅲ　の教科書を見ますと、　
「 関数　ｆ（ｘ）＝√ｘ　では、定義域の端　ｘ＝０　では微分係数を考えない。 」
　となっています。
これからしますと、　ｓｉｎ^(-1)（ｘ）　の定義域の端点　ｘ＝±１　での微分係数も
考えなくてよいことになりますので、積分を微分の逆演算とすれば、微分を考えない部分
の積分は考えないことにするものと思われます。

したがって、僕の　（ 答案 ）　の　ｘ＝±１　についての記述部分はすべて省いて
読んでいただきますよう、お願い申し上げます。