質問<3237>2006/6/11
sin^(-1)xの積分なのですが、どうすればよいのでしょうか。 表現がイマイチわからないのですが、アークサインxという意味です。 よろしくお願いします! ★完全解答希望★
お便り2006/6/11
from=S(社会人)
こんにちは。 ( 答案 ) (1) まず、 sin^(-1)(x)=t とおいて変形して微分すると、 x=sin(t) dx/dx=dsin(t)/dx 1=dsin(t)/dt*dt/dx 1=cos(t)*dt/dx … [1] ここで、逆正弦関数を取り扱うのであるから、周期関数の主たる値域として、 -π/2≦t≦π/2 をとることにすると、 cos(t)≧0、1-x^2=cos^2(t) したがって、 [1] は 1=√(1-x^2)*dt/dx 1/√(1-x^2)=dt/dx ( x≠±1 のとき ) よって、 {sin^(-1)(x)}′=1/√(1-x^2) (2) しかして、 ∫sin^(-1)(x)dx=xsin^(-1)(x)-∫x{sin^(-1)(x)}′dx =xsin^(-1)(x)-∫x/√(1-x^2)dx =xsin^(-1)(x)+√(1-x^2)+C ( C は積分定数 ) … ( 答 ) (3) sin^(-1)(x) について x=±1 のときは、 cos(t)=0 すなわち √(1-x^2)=0 で、 ∫sin^(-1)(±1)dx=∫(±π/2)dx =±(π/2)x+C′ ( C′ は積分定数 ) であるから、この不定積分は (2) の ( 答 ) に含まれている。 のようになりました。
お便り2006/6/12
from=S(社会人)
先に、投稿いたしました ( 答案 ) ですが… (3) については、余り自信がありません。 この言及について( 逆正弦関数の定義域の x=±1 の部分の処理について ) の可否など、皆さんの御批判の comment が頂けたら幸甚に存じます。
お便り2006/6/12
from=S(社会人)
さきほど、 (3) のことで皆さんにお伺いを立てましたが、 この吟味は不要のことと判りました。 いま 数Ⅲ の教科書を見ますと、 「 関数 f(x)=√x では、定義域の端 x=0 では微分係数を考えない。 」 となっています。 これからしますと、 sin^(-1)(x) の定義域の端点 x=±1 での微分係数も 考えなくてよいことになりますので、積分を微分の逆演算とすれば、微分を考えない部分 の積分は考えないことにするものと思われます。 したがって、僕の ( 答案 ) の x=±1 についての記述部分はすべて省いて 読んでいただきますよう、お願い申し上げます。