質問＜３２５２＞2006/6/16
from=ヘリウム
「log7について」

７の７７７乗の桁数を求めよ。
但し底を１０としlog2=0.3010 log3=0.4771
のみを使ってよいとする。

四、五人で考えたのですが。まったくわかりません
はさもうとしても１桁の範囲で収まらないため
まったくわかりません教えてください

★完全解答希望★

お便り２００６／６／１９
from=ZELDA

この問題では、少し変ですが、常用対数を「log」で表すことにする。

あまり良い解答ではありませんが、一応できました。
f(x)=log(x+a)-logx (a ＞0)とおく。
f(x)=log{1+(a/x)}であるから、f(x)は単調減少である。
つまり、xが大きいほど評価したときの誤差が小さくなる。このことに注目して、
log7を評価するのではなく、
log(7^3)=log343を評価する事を考える。

つぎの評価式は、電卓のボタンを押しまくって、見つけたものです。とても手計算では、
不可能だと思います。

(2^10)*{3^(-1)}=341.33・・・・=A
(2^35)*{10^(-8)}=343.59・・・=B
とおく。

A ＜ 7^3 ＜ B
logA ＜ log(7^3) ＜ logB
10log2-log3 ＜ log(7^3) ＜ 35log2-8
2.5329 ＜ log(7^3) ＜ 2.535
両辺に259をかけて
656.0211 ＜ 259log(7^3) ＜ 656.565
656.0211 ＜ log(7^777) ＜ 656.565

ゆえに、
10^656≦ 7^777 ＜ 10^657
であるから、求める桁数は657桁である。