質問<3252>2006/6/16
7の777乗の桁数を求めよ。 但し底を10としlog2=0.3010 log3=0.4771 のみを使ってよいとする。 四、五人で考えたのですが。まったくわかりません はさもうとしても1桁の範囲で収まらないため まったくわかりません教えてください ★完全解答希望★
お便り2006/6/19
from=ZELDA
この問題では、少し変ですが、常用対数を「log」で表すことにする。 あまり良い解答ではありませんが、一応できました。 f(x)=log(x+a)-logx (a >0)とおく。 f(x)=log{1+(a/x)}であるから、f(x)は単調減少である。 つまり、xが大きいほど評価したときの誤差が小さくなる。このことに注目して、 log7を評価するのではなく、 log(7^3)=log343を評価する事を考える。 つぎの評価式は、電卓のボタンを押しまくって、見つけたものです。とても手計算では、 不可能だと思います。 (2^10)*{3^(-1)}=341.33・・・・=A (2^35)*{10^(-8)}=343.59・・・=B とおく。 A < 7^3 < B logA < log(7^3) < logB 10log2-log3 < log(7^3) < 35log2-8 2.5329 < log(7^3) < 2.535 両辺に259をかけて 656.0211 < 259log(7^3) < 656.565 656.0211 < log(7^777) < 656.565 ゆえに、 10^656≦ 7^777 < 10^657 であるから、求める桁数は657桁である。