質問＜３２６２＞2006/6/24
from=チョー屋さん
「微分」

f(x),g(x)は、a,b(a＜b)を含む開区間Iで微分可能な関数であるとする。
このとき、f(a)=f(b)=0,g(x)＞0(Iのすべての要素xに対して)ならば、
　　　f(c)g'(c)－f'(c)g(c)=0, a＜c＜b
となるcが存在することを示せ。

を教えてください。

★完全解答希望★

お便り２００６／７／２
from=wakky

区間Iで、g(x)＞0だから
F(x)＝f(x)/g(x)を定義することができる。
区間Iでf(x)，g(x)は微分可能であるから
F(x)は区間[a,b]で微分可能
平均値の定理から
{F(b)－F(a)}/(b-a)＝F'(c)を満たすc(a＜c＜b)が存在する。
ここで、f(a)＝f(b)＝０より
このcに対して、
F’(c)＝0
また
F'(x)＝{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2　だから
g(x)＞0より
f'(c)g(c)－f(c)g'(c)＝0（証明終り）
こんなんでいいのかどうか？？？