質問<3262>2006/6/24
f(x),g(x)は、a,b(a<b)を含む開区間Iで微分可能な関数であるとする。 このとき、f(a)=f(b)=0,g(x)>0(Iのすべての要素xに対して)ならば、 f(c)g'(c)-f'(c)g(c)=0, a<c<b となるcが存在することを示せ。 を教えてください。 ★完全解答希望★
お便り2006/7/2
from=wakky
区間Iで、g(x)>0だから F(x)=f(x)/g(x)を定義することができる。 区間Iでf(x),g(x)は微分可能であるから F(x)は区間[a,b]で微分可能 平均値の定理から {F(b)-F(a)}/(b-a)=F'(c)を満たすc(a<c<b)が存在する。 ここで、f(a)=f(b)=0より このcに対して、 F’(c)=0 また F'(x)={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2 だから g(x)>0より f'(c)g(c)-f(c)g'(c)=0(証明終り) こんなんでいいのかどうか???