質問<3266>2006/6/25
nを2以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。 log(n-1)!<∫〔1,n〕logxdx<logn! です。宜しくお願いします。 ★完全解答希望★
お便り2006/6/28
from=yamada
高校の範囲ですから以下の要領でいいでしょう。 k<x<k+1(k=1,2,3, ..., n-1)を満たす実数xに対して logk<logx<log(k+1) (log(x)は単調増加より) よって、全式[k,k+1]でxに関して積分する. ∫[k,k+1]logk dx<∫[k,k+1]logx dx<∫[k,k+1]log(k+1) dx logk<∫[k,k+1]logx dx<log(k+1) よって、全辺,k=1,2, ..., n-1として足すと log1+log2+..+log(n-1)<∫[1,n]logx dx<log2+...+log(n) log(n-1)!<∫[1,n]logx dx<log(n!) (log1=0より) これでよいと思います。 (※S(社会人)さんから、間違っていたので取り下げたいというメールが 入りましたので、その部分をカットしました。管理人談)