質問＜３２６６＞2006/6/25
from=リッツ
「初めまして。数Ⅲの積分の問題です。」

nを2以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。

log(n-1)!＜∫〔1,n〕logxdx＜logn!

です。宜しくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／６／２８
from=yamada

高校の範囲ですから以下の要領でいいでしょう。
k＜x＜k+1(k=1,2,3, ..., n-1)を満たす実数xに対して
logk＜logx＜log(k+1) (log(x)は単調増加より)
よって、全式[k,k+1]でxに関して積分する.
∫[k,k+1]logk dx＜∫[k,k+1]logx dx＜∫[k,k+1]log(k+1) dx
logk＜∫[k,k+1]logx dx＜log(k+1)
よって、全辺,k=1,2, ..., n-1として足すと
log1+log2+..+log(n-1)＜∫[1,n]logx dx＜log2+...+log(n)
log(n-1)!＜∫[1,n]logx dx＜log(n!) (log1=0より)

これでよいと思います。

（※S（社会人）さんから、間違っていたので取り下げたいというメールが
　　入りましたので、その部分をカットしました。管理人談）