質問＜３３０７＞2006/7/15
①x,y∈Rとするとき，条件「x＞y⇒x＾2＞y＾2」が成り立つ点（x，y）の集合を図示せよ。 ②a，x∈Rとするとき，任意のxに対し，条件「x＞a⇒x＾2＞a＾2」が成り立つための 必要十分条件を求めよ。 以上の2題の問題がいまいち理解できずに苦しんでいます。 投稿に解説が載っていたのですが理解できませんでした。 詳しい解説よろしくお願い致します。 ★完全解答希望★
お便り２００６／８／１１
from=KINO
(1) P⇒Q という命題は， P が真で Q が偽のときのみ偽で，それ以外のときは真 という性質をもつと「定義」されています。 つまり，P⇒Q は P が偽のとき，Q の真偽によらずに真であり，P が真のときは Q が真なら真，Q が偽なら偽です。 このことをふまえた上で，条件「x＞y ⇒ x^2＞y^2」が真になるような点 (x,y) の 集合を求めましょう。 それには，この条件が成り立たない集合の補集合として求めるのが手っ取り早いです。 そこで，x＞y という関係をみたす (x,y) のうち，x^2＞y^2 が成り立たない， すなわち x^2≦y^2 となるようなものがどういうものかを見出しましょう。 x^2≦y^2 は (x-y)(x+y)≦0 と変形でき，いま x＞y の場合を考えていますから， 両辺を x-y＞0 で割ると x+y≦0 となります。これは y≦-x と同じことです。 よって，x＞y であって， しかも y≦-x であるような点の集合が，求める集合の 補集合であることがわかりました。これは xy 平面においては， 直線 y=x の下側（この直線を含まず）が x＞y をみたす点 (x,y) の集まり で， 直線 y=-x の下側（この直線を含む）が y≦-x であるような点 (x,y) の集まり ですから，これらの共通部分が求める集合の補集合です。 図を示すのが一番ですが，僕の技術ではそれは無理です。頑張って言葉で言い表してみると， x≦0，つまりy軸の左側（y軸を含む）では直線 y=x より上側（この直線も含む）で， x＞0，つまりy軸の右側では直線 y=-x より上側（この直線は含まず） となります。 (2) a を (1) の y だと思い，(1) で図示した領域をもとに次のように考えます： xy 平面において，x 軸に平行な直線 y=a が (1) で図示した領域にすっぽり入るとき， そのような直線上の点 (x,a) は条件「x＞a⇒x＾2＞a＾2」をみたしていることになる。 そうすると，a≧0 が必要十分条件となります。 あるいは，もちろん式の上で考えることもできます。 任意の x に対し，条件「x＞a⇒x＾2＞a＾2」が成り立つならば，特に x=0 とおいた 0＞a ⇒ 0＞a^2 が成り立つはずで，a が実数である限り 0＞a^2 は偽であるため，0＞a が偽で なければならず，ゆえに a≧0 であることが必要になります。 a≧0 が十分であることは， x＞a≧0 ならば x^2＞a^2 が成り立つことからわかります。