質問<331>2000/10/5
はじめまして、おっぽと申します。 1≦k≦nで、 nn n Ck ≦────── kk(n-k)n-k が成り立つことを帰納法を用いて証明する。 という問題なのですが、流れとしては、 まず、1≦k≦n/2のとき帰納法を用いて証明し、1≦k≦nへ 拡張(?)する(hintより)らしいのですが、解りません。 どうか、解法をおねがいいたします。
お返事2000/10/6
from=武田
帰納法では出来ませんでしたが、次のようなやり方を考えましたので、 検討してください。 1≦k≦nで、(n-k)=pとおくと、n=k+p nn (k+p)n 右辺=──────=──────=※ kk (n-k)n-k kk pn-k 分子の二項定理より、r=0~n Σ nCr kr pn-r ※=─────────=Σ nCr kr-kpk-r kk pn-k nCr ≧1、kr-k>0、pk-r>0より、 すべてのrについて、 nCr kr-kpk-r>0がいえる。 r=kの1つだけ取り出して、 ※=Σ nCr kr-kpk-r≧ nCk kk-kpk-k = nCk k0p0= nCk =左辺 したがって、 左辺≦右辺