質問＜３３１＞２０００／１０／５
from=おっぽ
「二項係数の境界の証明」

はじめまして、おっぽと申します。

１≦ｋ≦ｎで、
　　　　　　ｎn
n Ｃk ≦──────
　　　　ｋk(n-k)n-k
が成り立つことを帰納法を用いて証明する。

という問題なのですが、流れとしては、
まず、１≦ｋ≦n/2のとき帰納法を用いて証明し、１≦ｋ≦ｎへ
拡張(?)する(hintより)らしいのですが、解りません。

どうか、解法をおねがいいたします。

お返事２０００／１０／６
from=武田

帰納法では出来ませんでしたが、次のようなやり方を考えましたので、
検討してください。

１≦ｋ≦ｎで、（ｎ－ｋ）＝ｐとおくと、ｎ＝ｋ＋ｐ
　　　　　ｎn 　　　（ｋ＋ｐ）n 
右辺＝──────＝──────＝※
　　　ｋk (n-k)n-k　　ｋk ｐn-k

分子の二項定理より、ｒ＝０～ｎ
　　Σ nＣr ｋr ｐn-r
※＝─────────＝Σ nＣr ｋr-kｐk-r
　　　　ｋk ｐn-k

 nＣr ≧１、ｋr-k＞０、ｐk-r＞０より、
すべてのｒについて、
 nＣr ｋr-kｐk-r＞０がいえる。
ｒ＝ｋの１つだけ取り出して、
※＝Σ nＣr ｋr-kｐk-r≧ nＣk ｋk-kｐk-k
＝ nＣk ｋ0ｐ0＝ nＣk ＝左辺
したがって、
左辺≦右辺