質問＜３３１２＞2006/7/17
かなり急いでます（テスト近いので）。宜しくお願いします。 『f(χ)=ArctanχのMaclaurin展開を次の順序で求めよ。』って問題 の(2)で『y^(n+2)とy^(n+1)とy^(n)（←順にn+2、n+1、n階導関数 を表しています）の関係式を導け』ってのがありまして、答えは 『(1+χ^2)*y^(n+2)+2(n+1)χ*y^(n+1)+n(n+1)y^(n)=0』だってのは分か ってるんですけど、導き方が分かりません！あと、この式が示せて yのn階導関数にχ=0を代入して値が求まったところから展開式への もっていき方がわかりません！ ★完全解答希望★
お便り２００６／１１／１０
from=主夫
既にテストは終わったとは思いますが、一応答えの形らしきものにはなりました。
ただしご要求に沿った解法ではありませんので、これに満足されなければもう一度再質問をし、
他の回答者にお尋ねになられればと思います。
まず、問題の（１）が書かれていません。実はこれが非常に引っかかります。
どんな問題だったのでしょうか？
（２）「y^(n+2)とy^(n+1)とy^(n)の関係式を導け」
ひょっとしたら（１）の問題は（２）の誘導問題なのではないですか？
回答がつきにくいのはこのあたりに原因があるのかもしれません。
答えを知っていないとかなり無理のある回答ではありますが、以下。
y^(1)=1/(1+x^2) はいいですね？
両辺をさらに微分すると、
y^(2)
=-2x/{(1+x^2)^2}
={-2x/(1+x^2)}*{1/(1+x^2)}
={-2x/(1+x^2)}*y^(1) この両辺を(1+x^2)倍すると、
(1+x^2)*y^(2)=-2x*y^(1)
(1+x^2)*y^(2)+2x*y^(1)=0 …①
これをn回微分すると、例の答えになるわけです。
(1+x^2)*y^(n+2)+2(n+1)x*y^(n+1)+n(n+1)y^(n)=0
ここのところがわからなければ、①を１回ずつ微分していけば予想が立つので、
あとは数学的帰納法を使ってもいいでしょう。（この証明は省略します）
試しに少しだけやってみると、まず１回微分は、
(1+x^2)*y^(3)+2x*y^(2)+2*y^(1)+2x+y^(2)=0 整理して
１回微分： (1+x^2)*y^(3)+4x*y^(2)+2*y^(1)=0
２回以降は結論のみ。
２回微分： (1+x^2)*y^(4)+6x*y^(3)+6*y^(2)=0
３回微分： (1+x^2)*y^(5)+8x*y^(3)+12*y^(2)=0
とこうしていくと、自ずと予想が立てられます。
この後のマクローリン展開へのもっていき方が、私にもよく分かりません。
ここまできて大変申し訳ないのですが、別の方法を用いて解いてみます。
lxl＜1において、無限等比級数の公式
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3…+{(-1)^n}*x^(n)+…
が成り立ちます。
lxl＜1のとき、lx^2l＜1なので、この式のxの代わりにx^2を代入すると、
1/(1+x)^2=1-x^2+x^4-x^6+…+{(-1)^n}*x^(2n)+…
両辺を0からxまで積分して、
∫[0→x]{1/(1+x)^2}dx=∫[0→x]{1-x^2+x^4-x^6+…+{(-1)^n}*x^(2n)+…}dx
左辺はarctanxです。右辺は項別に積分していって、
arctanx=x-(1/3)x^3+(1/5)x^5+…+{(-1)^n}*{1/(2n+1)}*x^(2n+1)+…
となります。