質問<3312>2006/7/17
かなり急いでます(テスト近いので)。宜しくお願いします。 『f(χ)=ArctanχのMaclaurin展開を次の順序で求めよ。』って問題 の(2)で『y^(n+2)とy^(n+1)とy^(n)(←順にn+2、n+1、n階導関数 を表しています)の関係式を導け』ってのがありまして、答えは 『(1+χ^2)*y^(n+2)+2(n+1)χ*y^(n+1)+n(n+1)y^(n)=0』だってのは分か ってるんですけど、導き方が分かりません!あと、この式が示せて yのn階導関数にχ=0を代入して値が求まったところから展開式への もっていき方がわかりません! ★完全解答希望★
お便り2006/11/10
from=主夫
既にテストは終わったとは思いますが、一応答えの形らしきものにはなりました。 ただしご要求に沿った解法ではありませんので、これに満足されなければもう一度再質問をし、 他の回答者にお尋ねになられればと思います。 まず、問題の(1)が書かれていません。実はこれが非常に引っかかります。 どんな問題だったのでしょうか? (2)「y^(n+2)とy^(n+1)とy^(n)の関係式を導け」 ひょっとしたら(1)の問題は(2)の誘導問題なのではないですか? 回答がつきにくいのはこのあたりに原因があるのかもしれません。 答えを知っていないとかなり無理のある回答ではありますが、以下。 y^(1)=1/(1+x^2) はいいですね? 両辺をさらに微分すると、 y^(2) =-2x/{(1+x^2)^2} ={-2x/(1+x^2)}*{1/(1+x^2)} ={-2x/(1+x^2)}*y^(1) この両辺を(1+x^2)倍すると、 (1+x^2)*y^(2)=-2x*y^(1) (1+x^2)*y^(2)+2x*y^(1)=0 …① これをn回微分すると、例の答えになるわけです。 (1+x^2)*y^(n+2)+2(n+1)x*y^(n+1)+n(n+1)y^(n)=0 ここのところがわからなければ、①を1回ずつ微分していけば予想が立つので、 あとは数学的帰納法を使ってもいいでしょう。(この証明は省略します) 試しに少しだけやってみると、まず1回微分は、 (1+x^2)*y^(3)+2x*y^(2)+2*y^(1)+2x+y^(2)=0 整理して 1回微分: (1+x^2)*y^(3)+4x*y^(2)+2*y^(1)=0 2回以降は結論のみ。 2回微分: (1+x^2)*y^(4)+6x*y^(3)+6*y^(2)=0 3回微分: (1+x^2)*y^(5)+8x*y^(3)+12*y^(2)=0 とこうしていくと、自ずと予想が立てられます。 この後のマクローリン展開へのもっていき方が、私にもよく分かりません。 ここまできて大変申し訳ないのですが、別の方法を用いて解いてみます。 lxl<1において、無限等比級数の公式 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3…+{(-1)^n}*x^(n)+… が成り立ちます。 lxl<1のとき、lx^2l<1なので、この式のxの代わりにx^2を代入すると、 1/(1+x)^2=1-x^2+x^4-x^6+…+{(-1)^n}*x^(2n)+… 両辺を0からxまで積分して、 ∫[0→x]{1/(1+x)^2}dx=∫[0→x]{1-x^2+x^4-x^6+…+{(-1)^n}*x^(2n)+…}dx 左辺はarctanxです。右辺は項別に積分していって、 arctanx=x-(1/3)x^3+(1/5)x^5+…+{(-1)^n}*{1/(2n+1)}*x^(2n+1)+… となります。