質問＜３３２７＞２００６／８／１５
from=LN
「数列の和」

1+1/2+1/3+1/4+…+1/nの和を求める式は、ないと聞きました。
でも、Sn=an/n!(anは、an-1=1,an=an-1*n+(n-1)!で表される漸化式）
というのを見つけたんですが、これは意味がある式なのでしょうか。

★希望★完全解答★

お便り２００６／９／３
from=地蔵

Sn=An/n!は成り立た無いのでは…
nに２を代入するとSn=(1/2)/2!=1/4となり
実際はSn=1+1/2=3/2です。

あえてするならこのようになるのではないでしょうか。

この数列は調和数列という、等差数列の逆数を並べたものです。
なので、まずこの数列の逆数の数列、つまりもともとの等差数列を求めます。
そうすると、
1,2,3,4,………,n
よって一般項は、
Ak=1+1*(k-1)=n
つまり、与えられた数列の一般項は、
1/kです。
従って、求める総和は、
 n
 Σ 1/kとなります。
k=1

別の求め方をすると、
まず、総和の分母は、
n(n-1)(n-2)(n-3)…*3*2*1です。
又、総和の分子は、
1*2*3*…(n-3)(n-2)(n-1)n/k
(k=1,2,3,4,…,n)
つまり、
 n
 Σ 1*2*3*…(n-3)(n-2)(n-1)n/k
k=1
です。
これより、求めるものは
 n
 Σ 1/k
k=1
となります。

ただしこれ以上いくのは、
計算しにくくなるので
ここまでが、限界だと思います。