質問<3327>2006/8/15
1+1/2+1/3+1/4+…+1/nの和を求める式は、ないと聞きました。 でも、Sn=an/n!(anは、an-1=1,an=an-1*n+(n-1)!で表される漸化式) というのを見つけたんですが、これは意味がある式なのでしょうか。 ★希望★完全解答★
お便り2006/9/3
from=地蔵
Sn=An/n!は成り立た無いのでは… nに2を代入するとSn=(1/2)/2!=1/4となり 実際はSn=1+1/2=3/2です。 あえてするならこのようになるのではないでしょうか。 この数列は調和数列という、等差数列の逆数を並べたものです。 なので、まずこの数列の逆数の数列、つまりもともとの等差数列を求めます。 そうすると、 1,2,3,4,………,n よって一般項は、 Ak=1+1*(k-1)=n つまり、与えられた数列の一般項は、 1/kです。 従って、求める総和は、 n Σ 1/kとなります。 k=1 別の求め方をすると、 まず、総和の分母は、 n(n-1)(n-2)(n-3)…*3*2*1です。 又、総和の分子は、 1*2*3*…(n-3)(n-2)(n-1)n/k (k=1,2,3,4,…,n) つまり、 n Σ 1*2*3*…(n-3)(n-2)(n-1)n/k k=1 です。 これより、求めるものは n Σ 1/k k=1 となります。 ただしこれ以上いくのは、 計算しにくくなるので ここまでが、限界だと思います。