質問＜３３３５＞２００６／８／２４
from=さゆ
「多項式」

xの多項式x^4+x^3-x^2+ax+b　(a,bは実数)　が、ある2次式の二乗になるとき、
定数a,bの値を求めよ

わからないので教えてください。

★完全解答希望★

お便り２００６／８／２６
from=μG

スマートな解答ではないですが…

ある2次式を px^2+qx+rとおくとx^4+x^3-x^2+ax+bは
　(px^2+qx+r)^2
と表せる。展開して
　p^2x^4+2pqx^3+(2pr+q^2)x^2+2qrx +r^2
係数を比較して
　{ p^2 = 1	　…①
　{ 2pq = 1	　…②
　{ 2pr+q^2 = -1       …③
　{ 2qr = a	　…④
　{ r^2 = b	　…⑤
　
①より　p = ±1
p = 1のとき
②より q = 1/2
③へ代入して　2r+1/4 = -1
	　　　2r = -5/4	　　∴ r = -5/8
④へ　a = -5/8
⑤へ　b = 25/64

p = -1のとき
②より q = -1/2
③へ代入して　-2r+1/4 = -1
	　　　-2r = -5/4　　∴ r = 5/8
④へ　a = -5/8
⑤へ　b = 25/64

∴　(a, b) = (-5/8, 25/64)

お便り２００６／８／２７
from=KINO

「ある2次式」を px^2+qx+r とおくことにします。
x^4+x^3-x^2+ax+b=(px^2+qx+r)^2
と表せるというわけですが，右辺を展開したときに x^4 の項が出てきますが，
その係数は p^2 で，左辺の x^4 の係数は 1 なので，
あらかじめ p=1 として構いません。
したがって，
x^4+x^3-x^2+ax+b=(x^2+qx+r)^2=x^4+2qx^3+(2r+q^2)x^2+2qrx+r^2
となるので，両辺の係数を比較します。
x^3 の係数：1=2q --- (1),
x^2 の係数：-1=2r+q^2 --- (2),
x の係数： a=2qr --- (3),
定数項：b=r^2 --- (4).
まず (1) より q=1/2 であることがわかります。これを (2) に代入して 
r を求めると，r=-5/8 となります。
これらを (3)，(4) に代入すれば，a=-5/8, b=25/64 となります。