質問＜３３４１＞２００６／８／２５
from=ゆき
「微分（中点の軌跡）」

初めまして。
早速ですが曲線y=x3乗+3px2乗+3px+1が極大となる点A，極小となる点Bをもつように
pの値が変化するとき、線ABの中点Mの軌跡を求めよ。
という問題が分かりません。助けてください・・・

★完全解答希望★

お便り２００６／８／３０
from=μG

f(x)=y=x^3+3px^2+3px+1とおく
	f'(x)=3x^2+6px+3p
	     =3(x^2+2px+p)　…①
極大、極小となる点をもつのでf'(x)=0は異なる2つの実数解をもつ。
すなわちD/4=p^2-p＞0
	p(p-1)＞0	∴p＜0, 1＜p　…②
また、点A、Bの座標をそれぞれ(α, f(α)),(β, f(β))とすると、
①と解と係数の関係より、
	{ α+β=-2p
	{ αβ=p
点Mの座標は( (α+β)/2, (f(α)+f(β))/2) )であるから、
	(α+β)/2 = -2p/2 = -p
	(f(α)+f(β))/2)
	 = {α^3+3pα^2+3pα+1+β^3+3pβ^2+3pβ+1}/2
	 = {(α^3+β^3)+3p(α^2+β^2)+3p(α+β)+2}/2
	 = {(α+β)(α^2-αβ+β^2)+3p(α^2+β^2)+3p(α+β)+2}/2
	 = {(α+β)((α+β)^2-3αβ)+3p((α+β)^2-2αβ)+3p(α+β)+2}/2
	 = {-2p((-2p)^2-3p)+3p((-2p)^2-2p)+3p(-2p)+2}/2
	 = {-2p(4p^2-3p)+3p(4p^2-2p)-6p^2+2}/2
	 = {-8p^3+6p+12p^3-6p^2-6p^2+2}/2
	 = {4p^3-6p^2+2}/2
	 = 2p^3-3p^2+1
よって点Mの座標は(-p, 2p^3-3p^2+1)
①より-p＜-1, 0＜-p,
また
	2p^3-3p^2+1=-2(-p)^3-3(-p)^2+1
よって点Mの軌跡は
	y = -2x^3-3x^2+1	(x＜-1, 0＜x)