質問<3341>2006/8/25
初めまして。 早速ですが曲線y=x3乗+3px2乗+3px+1が極大となる点A,極小となる点Bをもつように pの値が変化するとき、線ABの中点Mの軌跡を求めよ。 という問題が分かりません。助けてください・・・ ★完全解答希望★
お便り2006/8/30
from=μG
f(x)=y=x^3+3px^2+3px+1とおく f'(x)=3x^2+6px+3p =3(x^2+2px+p) …① 極大、極小となる点をもつのでf'(x)=0は異なる2つの実数解をもつ。 すなわちD/4=p^2-p>0 p(p-1)>0 ∴p<0, 1<p …② また、点A、Bの座標をそれぞれ(α, f(α)),(β, f(β))とすると、 ①と解と係数の関係より、 { α+β=-2p { αβ=p 点Mの座標は( (α+β)/2, (f(α)+f(β))/2) )であるから、 (α+β)/2 = -2p/2 = -p (f(α)+f(β))/2) = {α^3+3pα^2+3pα+1+β^3+3pβ^2+3pβ+1}/2 = {(α^3+β^3)+3p(α^2+β^2)+3p(α+β)+2}/2 = {(α+β)(α^2-αβ+β^2)+3p(α^2+β^2)+3p(α+β)+2}/2 = {(α+β)((α+β)^2-3αβ)+3p((α+β)^2-2αβ)+3p(α+β)+2}/2 = {-2p((-2p)^2-3p)+3p((-2p)^2-2p)+3p(-2p)+2}/2 = {-2p(4p^2-3p)+3p(4p^2-2p)-6p^2+2}/2 = {-8p^3+6p+12p^3-6p^2-6p^2+2}/2 = {4p^3-6p^2+2}/2 = 2p^3-3p^2+1 よって点Mの座標は(-p, 2p^3-3p^2+1) ①より-p<-1, 0<-p, また 2p^3-3p^2+1=-2(-p)^3-3(-p)^2+1 よって点Mの軌跡は y = -2x^3-3x^2+1 (x<-1, 0<x)