質問＜３３４８＞２００６／８／２８
from=徹
「虚数」

虚部が正の複素数ｚでiz^2+2iz+1/2+i=0を満たすものを
z=a+bi（a,bは実数、b＞0）の形で表せ。

お願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／８／３０
from=KINO

z=a+bi を方程式に代入して実部と虚部に分けることから始めます。

i(a+bi)^2+2i(a+bi)+1/2+i
=i(a^2+2abi-b^2)+2ia-2b+1/2+i
=(-2ab-2b+1/2)+i(a^2-b^2+2a+1)

ですから，これが 0 に等しいことから，
実部：-2ab-2b+1/2=0，
虚部：a^2-b^2+2a+1=0
という連立方程式を得ます。
実部の式から，ab=1/4-b となります。
虚部の式に b^2 をかけると，
(ab)^2-b^4+2ab*b+b^2=0
となるので，これに ab=1/4-b を代入して
(1/4-b)^2-b^4+2(1/4-b)b+b^2=1/16-b^4=0
を得ます。
b^4-1/16=(b^2-1/4)(b^2+1/4)=(b-1/2)(b+1/2)(b^2+1/4)
および b>0 より，b=1/2 であることがわかります。
あとはこれを ab=1/4-b に代入すれば，
a=-1/2 となります。