質問<3348>2006/8/28
虚部が正の複素数zでiz^2+2iz+1/2+i=0を満たすものを z=a+bi(a,bは実数、b>0)の形で表せ。 お願いします。 ★完全解答希望★
お便り2006/8/30
from=KINO
z=a+bi を方程式に代入して実部と虚部に分けることから始めます。 i(a+bi)^2+2i(a+bi)+1/2+i =i(a^2+2abi-b^2)+2ia-2b+1/2+i =(-2ab-2b+1/2)+i(a^2-b^2+2a+1) ですから,これが 0 に等しいことから, 実部:-2ab-2b+1/2=0, 虚部:a^2-b^2+2a+1=0 という連立方程式を得ます。 実部の式から,ab=1/4-b となります。 虚部の式に b^2 をかけると, (ab)^2-b^4+2ab*b+b^2=0 となるので,これに ab=1/4-b を代入して (1/4-b)^2-b^4+2(1/4-b)b+b^2=1/16-b^4=0 を得ます。 b^4-1/16=(b^2-1/4)(b^2+1/4)=(b-1/2)(b+1/2)(b^2+1/4) および b>0 より,b=1/2 であることがわかります。 あとはこれを ab=1/4-b に代入すれば, a=-1/2 となります。